Mengenoperation beweisen

14.10.2011, 13:01

krns

Mengenoperation beweisen

Meine Frage:
Hi ich soll folgenden Beweis bringen. Habe aber keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Bin dankbar für jede Hilfe.

$\begin{eqnarray*} Q \cap (M \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} N) = (Q \cap M) \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} (Q \cap N) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich würde jetzt so vorgehen, dass ich mir vielleicht die Mengen als Kreise aufmale um das Problem klarer zu sehen. Jedoch irritiert mich der \. Das bedeutet ja das Q einen Durchschnitt mit M hat und alles, was nicht dazu gehört, hat einen Durchschnitt mit N - liege ich da richtig?

14.10.2011, 14:04

Pascal95

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Wenn du die Gleichheit von Mengen $\begin{eqnarray*} A,\, B \end{eqnarray*}$ zeigen möchtest, so kannst du $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ zeigen.

14.10.2011, 14:14

krns

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D.h. der backslash ist in diesem Fall egal oder wie schall ich das verstehen?

Ich schreibe dann x ist Element aus Q, m Element aus M und n ist Element aus N.

Wie setze ich dies in Bezug auf den Beweis um?

14.10.2011, 14:40

Pascal95

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Leider verstehe ich nicht, was du meinst...

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }A &:=& Q \cap (M \setminus N)\text{, }\\ B &:=& (Q \cap M) \setminus (Q \cap N) \end{eqnarray*}$

Es ist nun zu zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Pascal95
Wenn du die Gleichheit von Mengen $\begin{eqnarray*} A,\, B \end{eqnarray*}$ zeigen möchtest, so kannst du $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\subseteq A \end{eqnarray*}$ zeigen.

14.10.2011, 16:51

krns

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Alles klar, das hab ich schon mal verstanden. (dieses Thema ist für mich ganz neu, bin gerade mit dem Studium angefangen..)

Wäre nett, wenn mir jemand sagen kann, wie es weiter geht oder den Lösungsweg aufschreiben kann, damit ich ein Muster für die weiteren Aufgaben habe.

MfG

14.10.2011, 16:53

Pascal95

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Ok, was müsstest du nun als nächstes machen ?

Einen Plan, also eine Art Muster habe ich dir ja schon aufgeschrieben.

14.10.2011, 17:00

krns

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Ich muss beweisen, dass A = B ist. Also würde ich ein Element aus einer Menge nehmen und irgendwie beweisen, dass es auch in der anderen Menge ist.

Mehr weiß ich wirklich nicht; weiß nicht wie ich das aufschreiben soll usw. unglücklich

14.10.2011, 17:13

Pascal95

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Genau,
das wollte ich hiermit ausdrücken:

Zitat:

Es ist übrigens lohnenswert, sich zu merken:
$\begin{eqnarray*} A\subseteq B\land B\subseteq A\ \Longleftrightarrow\ A=B \end{eqnarray*}$ .

Dann zeigen wir zuerst $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ :

Wie war davon noch gleich die Definition ?
So war die Teilmenge definiert:
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B :\Longleftrightarrow \left( x \in A \Rightarrow x \in B\right) \end{eqnarray*}$

Wir müssen also zeigen: $\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ .

Also los:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }x\in A\text{:} \end{eqnarray*}$

Was kannst du nun über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sagen ?

14.10.2011, 17:19

krns

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Also in meinem Kopf ist mir das soweit alles klar. Ich weiß nur nicht, wie ich das aufschreiben soll.

wenn x ein Element aus A ist und A eine Teilmenge von B, dann muss x ja auch in B sein. Ist nun die frage wie ich das wieder aufschreibe.

Außerdem ist es andersherum genauso. Wenn x Element von B ist, und B eine Teilemenge von A, dann muss x auch in A sein.

Denke ich in die richtige Richtung?

14.10.2011, 17:30

Pascal95

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Ich hoffe schon.

Die Idee ist, dass wir die Gleichheit der Mengen durch zwei voneinander getrennten Schritten zeigen. Zusammen ergeben sie das, was wir zeigen wollen.

Zitat:

Original von krns
wenn x ein Element aus A ist und A eine Teilmenge von B, dann muss x ja auch in B sein.

Nun denken wir folgendermaßen:
Wenn x aus A ist und wir zeigen können, dass dann auch x in B ist, haben wir gezeigt, dass ...

14.10.2011, 17:35

krns

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.., dass x in beiden Mengen vorhanden ist. Also x aus A und x aus B.
Und wenn x in beiden sein muss, kann ich dann schon einfach so auf die Schnittmenge schließen?

14.10.2011, 17:38

Pascal95

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Dann haben wir gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt werden wir also im ersten Schritt zeigen: $\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet einfach, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist.

Bitte nicht zu kompliziert denken Augenzwinkern

x soll nur irgendein Element aus A darstellen. Das ist kein spezielles Ding, was eine Sonderbehandlung verdient...

14.10.2011, 17:41

krns

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RE: Mengenoperation beweisen
$\begin{eqnarray*} Q \cap (M \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} N) = (Q \cap M) \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} (Q \cap N) \end{eqnarray*}$

Okay.
Das oben war ja meine Aufgabe, die es zu beweisen gilt.
Wir haben das linke als A und das rechte als B definiert. Muss ich nun noch irgendwas auf die Ausgangsgleichung zurück führen?
Oder wäre dein vorheriger Post schon die Lösung für die Aufgabe?!

Danke schon mal!!!!

14.10.2011, 17:44

Pascal95

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Dass ich die Mengen mit Buchstaben bezeichnet habe, war hier sinnvoll, damit ich einfach sagen konnte, welche Menge ich meinte - wäre jetzt nicht notwendig gewesen.

Denn wenn wir hier sind...

Zitat:

Original von Pascal95
Wir müssen also zeigen: $\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ .

Also los:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }x\in A\text{:} \end{eqnarray*}$

Was kannst du nun über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sagen ?

... müssen wir auf die Definition von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zurückkommen...

Weißt du, was zu tun ist `?

14.10.2011, 17:52

krns

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RE: Mengenoperation beweisen
$\begin{eqnarray*} Q \cap (M \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} N) = (Q \cap M) \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} (Q \cap N) \end{eqnarray*}$

Da A := $\begin{eqnarray*} Q \cap (M \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} N) \end{eqnarray*}$ ist

und x Element aus A, also quasi x Element aus Q.. keine ahnung.
$\begin{eqnarray*} Q \cap (M \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} N) \end{eqnarray*}$ ??
..ich weiß nicht was zu tun ist.. ohman -.-

definiere ich nun verschiedene Elemente aus Q, M und N??

dieser Backslash irritiert mich auch total. Ich weiß gar nicht wie ich die Zeile "lesen" soll: Die Menge M, außer N hat einen Durchschnitt mit Q - wird die linke Seite so in etwa gelesen?..

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