Das Wesentliche Supremum der Fourier-Transformierte

14.10.2011, 11:19	katrin86	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Wesentliche Supremum der Fourier-Transformierte Hi, gilt die Aussage $\begin{eqnarray} \|\|\hat{f}\|\|_\infty \leq \|\|f\|\|_1 \end{eqnarray}$ ? wenn ja, wieso? wobei $\begin{eqnarray} f \in L_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \hat{f} \end{eqnarray}$ Fourier-Tansformierte ist. vielen Dank Katrin
14.10.2011, 15:59	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, gemäß Definition ist $\begin{eqnarray} \tilde f (k) = \int \limits_{\mathbb{R}^d}e^{-ikx}f(x)dx \end{eqnarray}$ Jetzt gilt punktweise fast überall die Abschätzung $\begin{eqnarray} \|\tilde f(k)\| \leq \int \limits_{\mathbb{R}^d}\|e^{-ikx}\|\cdot \|f(x)\|dx = \int \limits_{\mathbb{R}^d}\|f(x)\|dx = \Vert f \Vert_{L^1} \end{eqnarray}$ damit folgt die Behauptung, mfg Edit: Eigentlich gilt die Abschätzung sogar überall, denn die Transformierte ist als parameterabhängiges Integral gleichmässig stetig.
14.10.2011, 21:18	katrin86	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Sergej, Mir fällt ein kleiner Unterschied ein. nach meiner Definition $\begin{eqnarray} \hat{f}(k)=(2\pi)^{-n/2}\int f(x)e^{-ixk}dx \end{eqnarray}$ ist die Fourier-Transformierte. wieso das? Unter diesem Umstand gilt dann die Abschätzung nicht mehr, oder? Katrin
14.10.2011, 21:22	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, mit dieser Definition musst du entsprechend den Faktor vorne dranpacken, der Rest bleibt ja gleich. mfg
15.10.2011, 08:43	katrin86	Auf diesen Beitrag antworten »
also meist du etwa $\begin{eqnarray} \|\hat{f}(x)\| <= (2\pi)^{-n/2}\|\|f\|\|_1 \end{eqnarray}$ leider verlängt man unter meiner Definition (mit $\begin{eqnarray} (2\pi)^{-n/2} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \|\hat{f}(x)\| <= \|\|f\|\|_1 \end{eqnarray}$ gilt. außerdem wieso definiert man die Transformierte mal mit Faktor mal ohne? kannst du mir weiter hilfen? Katrin
15.10.2011, 09:19	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Faktor ist geschmackssache. Wenn er in der Transformation nicht auftaucht, so taucht dieser in der Rücktransformation auf. In deinem Fall taucht symmetrisch in Trafo und Rücktrafo derselbe Faktor auf. Man könnte diesen aber auch in geeigneter Weise in die e-Fkt schieben. Naja du könntest auch das um einen konstanten Faktor gewichtete Maß betrachten, also $\begin{eqnarray} d \mu(x) = (2\pi)^{-\frac{n}{2}}dx \end{eqnarray}$ jedoch ist dieses auch nichts besonderes, nur eine andere Schreibweise. Es ist halt wie es ist. mfg
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