Zufallsvariable - Minimum und Maximum

14.10.2011, 15:13

ChronoTrigger

Zufallsvariable - Minimum und Maximum

hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängige, jeweils mit Parametern 1 und $\begin{eqnarray*} p \in (0,1) \end{eqnarray*}$ binomialverteilte Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, F, P) \end{eqnarray*}$ (somit sind $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen.
Weiter seien $\begin{eqnarray*} X_{min}:=min\{X_1,...,X_n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{max}:=max\{X_1,...,X_n\} \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie die Verteilungen der beiden Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{min} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{max} \end{eqnarray*}$ .
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=j,X_{max}=k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j,k \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von dem gegebenen Parameter p.
c) Überprüfen Sie, ob die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{min} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{max} \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig sind.
d) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_{min} \end{eqnarray*}$ .
e) Berechnen Sie die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0 | X_{max}=0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0 | X_{max}=1) \end{eqnarray*}$

Soweit zur Aufgabenstellung.

Ich beginne einfach mal mit Teil a):

Da $\begin{eqnarray*} X_i \sim Ber(p) \forall i=1,...,n \end{eqnarray*}$ gilt, ist insbesondere auch $\begin{eqnarray*} X_{min} \sim Ber(p) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X_{max} \sim Ber(p) \end{eqnarray*}$ .

Damit habe ich dann
$\begin{eqnarray*} P(X_{min}=1)=p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0)=1-p \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} P(X_{max}=1)=p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X_{max}=0)=1-p \end{eqnarray*}$ .

Ist hiermit Teil a) schon gelöst?

zur b)

Weil $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig $\begin{eqnarray*} \forall i=1,...,n \end{eqnarray*}$ sind insbesondere auch $\begin{eqnarray*} X_{min} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{max} \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig.

Falls dann meine Ergebnisse aus Teil a) richtig sind, würde ich hier auf folgendes kommen:

Für $\begin{eqnarray*} j=0,k=0: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0,X_{max}=0)=P(X_{min}=0)P(X_{max}=0)=(1-p)^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} j=0,k=1: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0,X_{max}=1)=P(X_{min}=0)P(X_{max}=1)=(1-p)p=p-p^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} j=1,k=0: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=1,X_{max}=0)=P(X_{min}=1)P(X_{max}=0)=(1-p)p=p-p^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} j=1,k=1: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=1,X_{max}=1)=P(X_{min}=1)P(X_{max}=1)=p^2 \end{eqnarray*}$

danke schonmal im voraus.

14.10.2011, 15:28

René Gruber

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Da $\begin{eqnarray*} X_i \sim Ber(p) \forall i=1,...,n \end{eqnarray*}$ gilt, ist insbesondere auch $\begin{eqnarray*} X_{min} \sim Ber(p) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} X_{max} \sim Ber(p) \end{eqnarray*}$ .

Schon falsch: Minimum und Maximum sind zwar beide auch Bernoulli-verteilt - schließlich können sie ja nur die beiden Werte 0 oder 1 annehmen - aber nicht mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Bei b) wird's auch nicht besser: $\begin{eqnarray*} X_{\min} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{\max} \end{eqnarray*}$ sind nicht unabhängig (was sich in c) auf anderem Weg herausstellt), also sind deine ganzen Produktaufteilungen der Wahrscheinlichkeit für die Katz.

---------------------------------

Am besten widmest du dich zuerst Aufgabe b), also der Berechnung von $\begin{eqnarray*} p_{j,k} = P\left( X_{\min}=j,X_{\max}=k \right) \end{eqnarray*}$ , daraus folgt nämlich der ganze Rest:

Und zwar am besten in der Reihenfolge $\begin{eqnarray*} p_{0,0},p_{1,1},p_{1,0} \end{eqnarray*}$ und am Ende $\begin{eqnarray*} p_{0,1} \end{eqnarray*}$ .

14.10.2011, 16:01

ChronoTrigger

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danke erstmals für diese wertvollen Tipps.

Wenn ich das nun richtig verstanden habe, ist dann $\begin{eqnarray*} p_{0,0}=P(X_{min}=0,X_{max}=0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(1-p)^n \end{eqnarray*}$ , da ja dann jedes einzelne $\begin{eqnarray*} X_i=0 \end{eqnarray*}$ sein muss, und jedes $\begin{eqnarray*} X_i \sim Ber(p) \end{eqnarray*}$ ist.

14.10.2011, 16:03

René Gruber

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Korrekt, jetzt kommst du auf die richtige Spur. Freude

14.10.2011, 16:30

ChronoTrigger

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$\begin{eqnarray*} p_{1,1}=P(X_{min}=1,X_{max}=1)=p^n \end{eqnarray*}$ , weil dann auch hier jedes einzelne $\begin{eqnarray*} X_i=1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

$\begin{eqnarray*} p_{1,0}=P(X_{min}=1,X_{max}=0)=0 \end{eqnarray*}$ , weil sonst $\begin{eqnarray*} X_{min}>X_{max} \end{eqnarray*}$ gelten würde.

Mit $\begin{eqnarray*} p_{0,1}=P(X_{min}=0,X_{max}=1) \end{eqnarray*}$ habe ich allerdings noch meine Schwierigkeiten.

Ich habe mir das so überlegt:

Ich kann ja hier einmal $\begin{eqnarray*} X_i=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} X_i=1 \end{eqnarray*}$ haben, oder zweimal $\begin{eqnarray*} X_i=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n-2) \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} X_i=1 \end{eqnarray*}$ usw.
Das ganze sind aber dann doch disjunkte Ereignisse.

allerdings muss ich hierbei ja noch die Auswahlmöglichkeiten in Betracht ziehen.

Damit würde ich dann auf $\begin{eqnarray*} p_{0,1}=P(X_{min}=0,X_{max}=1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} - (1-p)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1-(1-p)^n \end{eqnarray*}$ kommen.

14.10.2011, 17:16

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} p_{1,1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_{1,0} \end{eqnarray*}$ stimmen auch. Freude

$\begin{eqnarray*} p_{0,1} \end{eqnarray*}$ ist fast richtig - Index $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gehört nicht mehr zur Summe dazu:

$\begin{eqnarray*} p_{0,1} = \sum\limits_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} = 1-p^n - (1-p)^n \end{eqnarray*}$

Dasselbe Ergebnis folgt auch leichter aus

$\begin{eqnarray*} p_{0,1} = 1-p_{0,0}-p_{1,1}-p_{1,0} \end{eqnarray*}$ ,

deswegen mein obiger subtiler Hinweis auf eine günstige Berechnungsreihenfolge. Augenzwinkern

14.10.2011, 18:08

ChronoTrigger

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ah ok

zur a)

dann ist $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0)=(1-p)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X_{min}=1)=p^n \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} P(X_{max}=0)=(1-p)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X_{max}=1)=1-P(X_{max}=0)=1-(1-p)^n \end{eqnarray*}$

14.10.2011, 18:14

René Gruber

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
$\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0)=(1-p)^n \end{eqnarray*}$

Falsch - die anderen drei Werte sind aber richtig.

Die gesuchten Werte ergeben sich ja als Randverteilung von b), d.h. als Zeilen- und Spaltensummen der dabei entstandenen 2x2-Wahrscheinlichkeitstafel.

14.10.2011, 18:21

ChronoTrigger

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stimmt, da habe ich kurz nicht aufgepasst.

$\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0)=1-P(X_{min}=1)=1-p^n \end{eqnarray*}$

zur c)

sie sind nicht stochastisch unabhängig, weil

$\begin{eqnarray*} P(X_{min}=1,X_{max}=0)=0 \neq p^n(1-p)^n=P(X_{min}=1)P(X_{max}=0) \end{eqnarray*}$

14.10.2011, 18:22

René Gruber

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Genau, hast auch gleich das einleuchtendste Beispiel rausgesucht. Freude

14.10.2011, 18:36

ChronoTrigger

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super, dann zur d)

$\begin{eqnarray*} F_{X_{min}}(z)=P(X_{min}\leq z) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\begin{cases}1-p^n& z=0 \\ 1 & z=1 \\ 0& z \notin \{0,1\}\end{cases} \end{eqnarray*}$

14.10.2011, 18:45

René Gruber

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Nein, denk nochmal genauer nach:

Die Verteilungsfunktion muss monoton wachsend sein. Bei diskreten Zufallsgrößen - wie hier - ist sie eine sogenannte Treppenfunktion, d.h. sie ist intervallweise konstant mit Sprüngen an den Stellen, wo die Zufallsgröße Werte annehmen kann (hier also z=0,z=1).

Mit anderen Worten: Die Funktionswerte an sich sind bei dir in Ordnung, die Intervallzuordnung aber nicht.

$\begin{eqnarray*} F_{X_{\min}}(z)=P(X_{\min}\leq z) = \begin{cases} 0 & \;z \in ? \\ 1-p^n& \;z \in ?\\ 1 & \;z \in ?\end{cases} \end{eqnarray*}$

14.10.2011, 19:06

ChronoTrigger

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Zitat:

Mit anderen Worten: Die Funktionswerte an sich sind bei dir in Ordnung, die Intervallzuordnung aber nicht.

ah, alles klar. dann müsste sie so aussehen:

$\begin{eqnarray*} F_{X_{\min}}(z)=P(X_{\min}\leq z) = \begin{cases} 0 & \;z \in (-\infty,0) \\ 1-p^n& \;z \in [0,1)\\ 1 & \;z \in [1,\infty) \end{cases} \end{eqnarray*}$

zur e)

das ist ja im prinzip nur einsetzen der in teil a) und b) gefunden werte.

Ich habe hier folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0|X_{max}=0)=1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0|X_{max}=1)=1-\frac{p^n}{1-(1-p)^n} \end{eqnarray*}$

14.10.2011, 19:12

René Gruber

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Genau.

Wobei $\begin{eqnarray*} P(X_{min}=0|X_{max}=0)=1 \end{eqnarray*}$ auch ganz ohne konkrete Rechnung plausibel sein sollte.

14.10.2011, 19:13

ChronoTrigger

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das stimmt.

dann möchte ich mich an dieser Stelle bei dir für diese tolle Hilfe bedanken.

vielen dank!

Ich denke, damit habe ich wieder einiges dazu gelernt.

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