Lineare Hülle, Spann...

14.10.2011, 15:54

Mathenoobika

Lineare Hülle, Spann...

Also ich beschäftige mich gerade ein wenig mit der lieben Linearen Algebra und habe da eine kleine Verständnisfrage.

Wenn ich einen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe, ist dann der Spann dieses Vektors:

Definiert durch $\begin{eqnarray*} 2 * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 3* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit:

Die lineare Hülle

$\begin{eqnarray*} \left[(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) \right] \end{eqnarray*}$

Verstehe das noch nicht so ganz, ein kleiner Tipp wäre hilfreich, wie ich das genau zu interpretieren habe.

LG

Mathenoobika

14.10.2011, 16:03

Pascal95

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Hallo,

"der Spann dieses Vektors" ist ein Begriff, der mir so nichts sagt.

Es sieht ja so aus, als wolltest du schauen, wie dieser Vektor durch Linearkombination zustande kommt.

Dann wäre das ja richtig.

Für mich sind die Begriff lineare Hülle und Spann Synonyme, um es mal nicht zu kompliziert zu machen.

14.10.2011, 16:10

Mathenoobika

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Ja ich weiss, lineare Hülle = Spann = Erzeugnis.

Unsere Definition war die folgende, wenn die Vektoren v_1 bis v_n Vektoren aus V sind so heißt:

$\begin{eqnarray*} \left<\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}\right>:\left\{\vec{v}\in V | \vec{v} = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_{i}\vec{v_i}, \lambda_{i} \in R \right\} \end{eqnarray*}$

Vielleicht wird es dadurch klarer. (Klar das das eine Linearkombination darstellt.)

Ist das Anhand dieser Def. immer noch richtig?

14.10.2011, 16:18

Pascal95

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Ok, so kenne ich das auch.

Zitat:

Original von Mathenoobika
Ist das Anhand dieser Def. immer noch richtig?

Was denn ?

14.10.2011, 16:25

Mathenoobika

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Naja, die evaluierte Hülle ^^ Geht ja hier nur um die Grundlage. Diese Hülle soll ja glaube ich das minimal Nötige beschreiben, was ausreicht um diesen Unterraum(R^2-Ebene) in R^3 darzustellen, soweit ich das verstanden habe.

Ansonsten lasse ich mich gerne eines besseren belehren :-D

LG

Mathenoobika

14.10.2011, 16:31

Pascal95

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Ich weiß jetzt nicht genau, was du meinst.

Es gilt aber:

Zitat:

Die lineare Hülle einer Teilmenge A eines Vektorraums ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge A enthält.

So könnte man die lineare Hülle auch definieren.

Siehe dazu:
Lineare Hülle - Wikipedia

14.10.2011, 16:32

Mathenoobika

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Na ok, dann scheint es wohl zu stimmen, da (1,0,0) und (0,1,0) wohl die kleinste Menge ist die den Unterraum beschreibt ^^ bzw. die Basis von R^2 in R^3

Danke dir..

14.10.2011, 16:44

Pascal95

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Hört sich vernünftig an.

Durch $\begin{eqnarray*} X = \left\{ x\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\ \mid\ x,y\in\mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ wird eine Ebene $\begin{eqnarray*} \left( =\mathbb R^2 \right) \end{eqnarray*}$ aufgespannt.

Es ist $\begin{eqnarray*} X = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{pmatrix}\ \mid\ x,y\in\mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} X = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}\ \mid\ x,y\in\mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ .

So kann man das ganz toll zeigen geschockt

14.10.2011, 16:50

galoisseinbruder

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Ich muss Euch hier mal stören:
Der kleinste Unterraum, der $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
enthält ist ein-dimensional (nämlich die Gerade die durch den Ursprung geht und den Vektor als Richtungsvektor enthält.)

14.10.2011, 16:52

Pascal95

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Ich dachte, er wollte eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ finden ...

@galoisseinbruder: Vielleicht machst du auch weiter, nicht das ich keine Ahnung vom Thema habe, sondern, dass du vielleicht die Fragen besser verstehst.

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