Beweisen, das eine Menge offen ist

14.10.2011, 22:20	Zitrone21	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen, das eine Menge offen ist Ich habe folgendes: $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , f sei stetig. $\begin{eqnarray} A := \{ x \in \mathbb{R}^n \| f(x) \leq c\} \end{eqnarray}$ Ich würde gerne zeigen, dass diese Menge abgeschlossen ist. Dafür erscheint es mir als sinnvoll, wenn ich zeige, dass das Komplement dieser Menge offen ist. Das Komplement ist $\begin{eqnarray} B := \{ x \in \mathbb{R}^n \| f(x) > c\} \end{eqnarray}$ Meine Analysiskenntnisse sind etwas eingerostet. Ich meine, dass ich nun eine Folge definieren könnte, deren Grenzwert c ist, wobei die Folgenglieder alle in B sind. Wie könnte so eine Folge aussehen? Die Schwierigkeit hierbei besteht ja, zu wissen, dass die einzelnen Folgenglieder in B liegen. Vermutlich kommt hier die Stetigkeit ins Spiel. Kann mir hier jemand helfen? =)
14.10.2011, 22:25	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Schonmal was von: Urbilder von offenen(abgeschlossenen) Mengen sind offen(abgeschlossen), sofern die Abbildung stetig ist, gehört?
15.10.2011, 08:57	Zitrone21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber dafür muss ich trotzdem zeigen, dass A oder B abgeschlossen bzw. offen ist. Klingt für mich jetzt nach einem Mehraufwand
15.10.2011, 09:09	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A= f^{-1} \left( ]-\infty, c] \right) \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} ]-\infty, c] \end{eqnarray}$ abgeschlossen so ist es auch $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ .
15.10.2011, 10:01	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest auch das Folgenkriterium verwenden, das ist in diesem Fall auch sehr einfach. Cordovan

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