Rechenregel hermitesche Operatoren

14.10.2011, 23:09	Asics	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenregel hermitesche Operatoren Hallo, ich habe eine Frage zu hermiteschen/selbstadjungierten Operatoren (der Unterschied ist mir leider nicht ganz klar, studiere Physik). Es gilt ja folgende Rechenregel: $\begin{eqnarray} (A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger} \end{eqnarray}$ Wie kann man diese Beweisen? Überlegt habe ich mir, dass für Matrizen, dass "Selbstadjungieren" im Prinzip ja komplex Konjugieren aller Einträge und dann Transponieren der Matrix bedeutet. Da $\begin{eqnarray} (A B)^{T} = B^{T} A^{T} \end{eqnarray}$ gilt, ist mir in dieser "Repräsentation" die Regel klar, aber das ist ja kein allgemeiner Beweis. Tut mir leid habe leider keine Ahnung von Funktionalanalysis. Lg Asics
14.10.2011, 23:43	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, leider wird der Begriff hermitsch nicht einheitlich Definiert in der Literatur. Ich benutze im Folgenden die Definition aus meiner Quantenmechanik Vorlesung, du kannst ja diese mit deiner Vergleichen. Sei also $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ein Hilbertraum (im allgemeinen komplexer Hilbertraum. Operatoren auf diesem Raum sind Paare $\begin{eqnarray} (A,D(A)) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A: D(A) \longrightarrow H \end{eqnarray}$ eine Abbildung (linear Vorzugsweise) und $\begin{eqnarray} D(A) \subset H \end{eqnarray}$ ein geeigneter Definitionsbereich. Häufig ist $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ein unendlichdimensionaler Raum, zum Beispiel der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen. Leider können diese nicht differenziert werden usw. deswegen muss/ kann man Operatoren, also später mögliche Observablen nur auf einem Teilraum definieren. Dieser sollte selbst natürlich ein Vektorraum sein. Ist jetzt $\begin{eqnarray} \langle \cdot , \cdot \rangle_H \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt, so heisst $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ symmetrisch bzw. hermitsch falls folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \langle Ax,y\rangle = \langle x,Ay\rangle, \ \ \forall x,y \in D(A) \end{eqnarray}$ Das heisst der Operator ist dadurch charakterisiert, dass wir im Skalarprodukt vertauschen können. Selbstadjungiert ist etwas mehr. Und zwar findet man einen weiteren Operator $\begin{eqnarray} (A^{\dagger}, D(A^{\dagger})) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \langle A^{\dagger}x,y\rangle = \langle x , Ay \rangle, \ \ \forall x \in D(A^{\dagger}), \ y \in D(A) \end{eqnarray}$ . Dieses ist der zu A adjungierte Operator. Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ symmetrisch bzw. hermitsch so muss er immernochnicht selbstadjungiert sein. Der entscheidende Unterschied ist der Definitionsbereich. Der Operator A heisst dann selbstadjungiert wenn $\begin{eqnarray} D(A) = D(A^{\dagger}), \ Ax = A^{\dagger}x, \ \ \forall x \in D(A) = D(A^{\dagger}) \end{eqnarray}$ gilt. Das heisst bei symmetrischen bzw. hermitschen Operatoren gilt $\begin{eqnarray} D(A) \subset D(A^{\dagger}) \end{eqnarray}$ aber nicht notwendigerweise Gleichheit. Dieses ist aber wichtig wenn wir zum Beispiel den Spektralsatz benutzen können. Physiker sagen dazu in der Regel zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gibt es eine orthonormalbasis $\begin{eqnarray} \{\|a\rangle \}_{a} \in H \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1= \sum \limits_{a}\|a \rangle \langle a \| \end{eqnarray}$ bzw. dann $\begin{eqnarray} A = \sum \limits_{a}\|a\rangle a \langle a \| \end{eqnarray}$ was dieses bedeutet wird mit Interpretationen sicher in der Vorlesung gefüllt. Für den Mathematischen Standpunkt verweise ich lieber auf die Literatur. PS: Wichtig ist dann auch, dass die Eigenwerte, also später die Messwerte reell sind, welches wohl als sinvoll erscheint. Den Matrizenfall kannst du im endlichdimensionalen zb $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n, \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ betrachten. Im komplexen musst du die Matrix jedoch noch komplex konjugieren. mfg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »