Drehung um 45° um einen bestimmten Punkt.

15.10.2011, 01:23	dreikommadrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehung um 45° um einen bestimmten Punkt. Wir sollen die Abbildungsvorschrift für eine 45° Drehung um den Punkt (1,2) bestimmen. Meine Idee ist folgende: die Drehung des Punktes (2,2) um den Punkt (1,2) ist die gleiche wie die Drehung des Punktes (1,0) um den Ursprung (selbiges Analog für (1,3) zu (0,1)). Ich drehe die Punkte (1,0) und (0,1) um 45° um den Ursprung und verschiebe dann die Punkte wieder um (1,2). Das Ergebnis entspricht laut GeoGebra auch dem Richtigen Wert. Soweit so gut. Nun stelle ich die Basisvektoren (1,0) und (0,1) als Linearkombination der Vektoren (2,2) und (1,3) dar. Da die Drehung ja Linear ist, kann ich durch die Skalare ja auch die Abbildung von (1,0) und (0,1) ermitteln... Denkste... denn da stimmen meine Ergebnisse dann leider nicht mehr mit GeoGebra überein. Im Dateianhang findet ihr die Rechnung bis zu dem Punkt, an dem ich hänge... (hatte das ganze in LyX geschrieben und dachte ich könnte das einfach hier "importieren") sicher geht das alles viel schneller aber dies ist der erste Weg der mir eingefallen ist und ich frage mich gerade, warum das nicht funktioniert.[attach]21485[/attach]
15.10.2011, 16:42	dreikommadrei	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir niemand einen kleinen tipp geben? denn, wenn es dort keinen rechenfehler gibt und das alles so stimmt, dann wäre die drehung ja gar nicht linear was ja aber nicht seien kann :/
15.10.2011, 18:07	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehung um 45° um einen bestimmten Punkt. Eine Drehung um 0 ist linear, um jeden anderen Punkt ist sie es nicht. Daher funktioniert das mit der neuen Basis nicht. Aber Dein erster Ansatz ist gut: Den Nullpunkt auf (1,2) verschieben; dann ist die Drehung linear, die Drehmatrix bekannt; Dann wieder auf den echten nullpunkt zurückschieben. P.S. was spricht eigentlich gegen $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt{0,5} \end{eqnarray}$ ?
16.10.2011, 10:30	dreikommadrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegen die Wurzeln sprach eigentlich nur der Windows Taschenrechner, den ich zur hand hatte... aber danke für die Antowort. Wenn ich das richtig verstehe bedeutet dass, ich muss jeden Punkt zurück verschieben, drehen und wieder erneut verschieben? also zunächst die drehung um 45° eines punktes (x,y) $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}) = f(x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) =xf(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) + y* f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) =x\begin{pmatrix} cos(\alpha) \\ sin(\alpha) \end{pmatrix} + y* \begin{pmatrix} -sin(\alpha) \\ cos(\alpha) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} xcos(\alpha) \\ xsin(\alpha) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y(-sin(\alpha)) \\ ycos(\alpha) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} xcos(\alpha) +y(-sin(\alpha)) \\ xsin(\alpha) +ycos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und da ich ja zunächst noch den punkt (1,2) abziehen und danach wieder drauf addieren muss, sollte die abbildungsvorschrift so aussehen: $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}) =\begin{pmatrix} (x-2)cos(\alpha) +(y-1)(-sin(\alpha)) +2\\ (x-2)sin(\alpha) +(y-1)cos(\alpha) +1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ richtig?
16.10.2011, 12:21	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das hatte ich im Sinn.

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