Ideal

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15.10.2011, 11:56	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideal Hallo miteinander, ich habe ein Integritätsring R gegeben und a_1, ..., a_n aus R. Ich muss zeigen, dass alle Vielfachen von a_1 , ..., a_n gerade $\begin{eqnarray} \bigcap <a_i> \end{eqnarray}$ ist. Meine Frage: Ist das nicht gerade die Definition? :S Man definiert ja <S> := $\begin{eqnarray} \bigcap I \end{eqnarray}$ das von S erzeugte Ideal, wobei S = {a_1, ... , a_n} wäre.
15.10.2011, 13:29	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, es ist nicht genau die Definition. In deinem Zitat der Definition überliest du das wichtigste: nämlich was ist denn $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ? Für einen Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und eine Menge $\begin{eqnarray} S\subset R \end{eqnarray}$ definiert man tatsächlich $\begin{eqnarray} \langle S\rangle:=\bigcap\limits_{I\subset R\text{ Ideal und }S\subset I} I \end{eqnarray}$ . Der Unterschied ist nun folgender: Der Schnitt in der Definition geht über alle Ideale $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ , die die Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ enthalten und der Schnitt in deiner Aufgabe geht nur über die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Ideale $\begin{eqnarray} \langle a_1\rangle,...,\langle a_n\rangle \end{eqnarray}$ .
15.10.2011, 14:09	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey, ich seh das "Problem". Aber in meiner Aufgabe habe ich gar nicht mehr als n Ideale, also sind trotzdem "alle" gemeint.. Oder ist das falsch? (sorry...evtl. bin ich auch einfach nur zu bescheuert, um die Aufgabe zu verstehen)
15.10.2011, 14:49	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo leo und systemagent, habe auch über diese aufgabe nachgedacht. Machen wir ein einfaches beispiel: unser integritätsring wären die ganzen zahlen, unsere a_n wären die zahlen 3 und 4, das würde heissen, dass alle vielfachen von 3 und 4, also 3,6,9,12.... und 4,8,12,16.. der durchschnitt von <3> und <4> wären, ist das so richtig?
15.10.2011, 15:25	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Wirklich? Es sind doch "nur" die gemeinsamen Vielfache gemeint. Also: "Die Menge aller gemeinsamen Vielfachen von a_1, ... , a_n ist gleich der Schnittmenge von <a_i>." --> shame on me: ich habe das wohl wichtigste Wort, "gemeinsam" bei meinem ersten Post vergessen.
15.10.2011, 15:35	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man leo, das mit dem g e m e i n s a m e n vielfachen ist gaanz wichtig, ich war ja schon am durchdrehen, ja jetzt ist die aufgabe fast schon trivial. Denk noch ein bischen nach, dann wird dir das auch klarwerden. Tschüss, dein ollie3
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15.10.2011, 16:03	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, nun ist es für mich auch klarer. Also, die Menge aller gemeinsamen Vielfache ist ja {a_1 \| v_1, {a_1 \|v_2, a_2 \| v_2} , ... , {a_1 \| v_n, ..., a_n \| v_n }} oder? Die rechte Seite von meiner Behauptung ist aber äquivalent mit: {a_1, ..., a_n }
15.10.2011, 17:04	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo leo, also wie du das geschrieben hast, ist das murks. Jedenfalls sind <a_1> die vielfachen von a_1, <a_2>die vielfachen von a_2 und so weiter, dann kann ja der durchschnitt von allen <a_i> nur die gemeinsamen vielfachen von allen a_i sein, anders geht es ja nicht, denn die durschnittsmenge sind ja immer die elemente, die alle mengen gemeinsam haben. So, hoffe das ist dir jetzt klar geworden. gruss ollie3
15.10.2011, 17:16	Leo1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank ollie3! So wie du's geschrieben hast ist es wirklich viel klarer. ..und sorry nochmals wegen vorhin, dass ich das wichtigste Worte links liegen gelassen habe... ...ich hätte noch eine abschliessende Frage zum ggT: Wenn dort alle a_i = 0 sind, dann ist "klar", dass es einen grössten gemeinsamen Teiler, nämlich 0, gibt. Warum muss R dann aber ein Körper sein? Gruss und nochmals besten Dank!
18.10.2011, 00:15	AdamB.	Auf diesen Beitrag antworten »
Operationen mit 0 sind (so viel ich weiss) nur in Körpern definiert. Das folgt dann also "automatisch"

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