Endliche Summe berechnen

15.10.2011, 13:44

XigiX

Endliche Summe berechnen

Meine Frage:
Guten Tag,
wir haben Aufgaben für zu Hause bekommen und bei einer von ihnen komme ich einfach auf keine zufriedenstellende Lösung.
Die Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie die endliche summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=10}^{100} (5n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Hinweiß gab uns der Dozent die Formel von der Summe n (kleine Gauß) und die Formel der Summe n².
Meine Ansätze waren nun die 5 rauszuziehen und das quadrat ebenso. Jedoch weiß ich nicht ob ich das so einfach machen darf. Zudem hab ich mich etwas über Arithmetische Reihen informiert und damit auch etwas rumprobiert. Jedoch weiß ich dabei nicht wie ich die 5 und das quadrat einbringen muss. Ich hoffe mir kann jemand helfen.

15.10.2011, 13:47

Cheftheoretiker

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RE: Endliche Summe berechnen
Gib es doch einfach in den Taschenrechner ein? verwirrt

15.10.2011, 13:50

XigiX

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RE: Endliche Summe berechnen
Ich denke nicht das ich einen Taschenrechner benutzen soll.
Da mir ja die zwei Formeln als Hinweis gegeben wurden.
Es muss doch auch eine Lösung ohne Taschenrechner geben.

15.10.2011, 14:15

Cel

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Klar gibt es die. Augenzwinkern

Löse doch mal erst die Klammer auf und spalte das in mehrere Summen auf, konstante kann man vorziehen.

Eine kleine Merkregel: "Bei endlichen Summen darf man alles machen, was sinnvoll ist." Sag ich mir immer so. Augenzwinkern

15.10.2011, 14:26

XigiX

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Dann hab ich das. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=10}^{100} 25n^2+10n+1 \end{eqnarray*}$ was mich nicht so wirklich weiterbringt.
Oder meintest du mit in mehrere Summen aufspalten das hier. $\begin{eqnarray*} 25\sum\limits_{n=10}^{100} n^2 + 10\sum\limits_{n=10}^{100} n + \sum\limits_{n=10}^{100} 1 \end{eqnarray*}$

Mein Denkanstoß war aber derhier: $\begin{eqnarray*} (5\sum\limits_{n=10}^{100} n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Schonmal ein Danke im Vorraus.

15.10.2011, 15:08

XigiX

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So ich hab jez noch bisschen weiter gerechnet.

Ich habe ausgehen davon: $\begin{eqnarray*} 25\sum\limits_{n=10}^{100} n^2 + 10\sum\limits_{n=10}^{100} n + \sum\limits_{n=10}^{100} 1 \end{eqnarray*}$

Diese zwei Formeln benutzt.
1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Also habe ich nun gerechnet mit der 2 Formel $\begin{eqnarray*} 25 (\frac {91 (91+1)(2\cdot 91n+1)}{6}) \end{eqnarray*}$
Und mit der ersten Formel $\begin{eqnarray*} 10 (\frac {91(91+1)}{2}) \end{eqnarray*}$

Die Ergebnisse dieser sind fürs erste 6383650 und für die zweite Summe 41860 die dritte summe ist ja 91.

Alle zusammen sind 6425601

Ist das jetzt richtig so? Irgendwie glaub ich da nicht so ganz dran.

15.10.2011, 18:39

Cel

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Zitat:

Original von XigiX
Ich habe ausgehen davon: $\begin{eqnarray*} 25\sum\limits_{n=10}^{100} n^2 + 10\sum\limits_{n=10}^{100} n + \sum\limits_{n=10}^{100} 1 \end{eqnarray*}$

Also, das stimmt schon mal.

Aber dann nicht mehr. Erst mal müssen rechts bei den Summen große N stehen, aber das ist nur ein Schreibfehler.

Schwerer wiegt aber, dass deine Summen bei 10 losgehen. Die Formel geht aber davon aus, dass sie bei 1 losgehen. Lasse die Summen also bei 1 starten und ziehe etwas ab, damit es wieder stimmt. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^6 k \end{eqnarray*}$ . Hier bringt die Formel nichts, aber wenn wir es so schreiben, dann schon: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^6 k - \sum_{k=1}^2 k \end{eqnarray*}$ .

16.10.2011, 00:49

XigiX

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Vielen lieben Dank. Du hast mir sehr geholfen. Unser Dozent hat sich auf unser Schulwissen verlassen. In meiner Schulzeit habe ich sowas nie im Leben gemacht.hehe
Nochmal vielen lieben Dank.

16.10.2011, 00:53

Cel

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Bitte. Es ist immer so, dass Schulwissen nicht gleich Schulmwissen ist. Frag nach, wenn du noch Probleme hast. Wink