Mengenlehre Abbildung Teilmenge

15.10.2011, 13:56

HeinzSupport

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Mengenlehre Abbildung Teilmenge

Meine Frage:
Hi, bin in meiner ersten Woche an der Uni und habe vorher noch nie Mengenlehre gehabt. Nun habe ich folgende Aufgabe:

A und B sind zwei Mengen. Sei $\begin{eqnarray*} f: X \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} Y \wedge A \subset B \subset X \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie dass dann $\begin{eqnarray*} f(A) \subset f(B). \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Den Teil $\begin{eqnarray*} f: X \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} Y \wedge A \subset B \subset X \end{eqnarray*}$ verstehe ich noch, ich verstehe allerdings nicht wie ich den übergang zu $\begin{eqnarray*} f(A) \subset f(B). \end{eqnarray*}$ bilden soll.
Habe mir etwas in diese richtung vorgestellt, bin mir aber ziemlich unsicher.
$\begin{eqnarray*} f: (A \subset X) \wedge (B \subset X) \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$

15.10.2011, 14:05

Iorek

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Der erste Schritt wäre hier, die Mengen $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(B) \end{eqnarray*}$ einfach mal hinzuschreiben, was bedeutet diese Schreibweise, wie könnte man das in die Mengenschreibweise übersetzen?

15.10.2011, 15:21

HeinzSupport

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Ich vermute das z.B. f(A) bedeutet das A in einer Relation zu Y steht (A R Y), und das ich nun irgendwie mit dem Karthesischen Produkt weitermachen muss.
Ich werd mal meine Aufzeichnungen nochmal durchgehen und dann nochmal drüber Nachdenken. Im Moment raucht der Kopf einfach nur, Ferien waren zu lang unglücklich

unglücklich

15.10.2011, 15:27

Iorek

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Das Kartesische Produkt solltest du eigentlich nicht brauchen...

$\begin{eqnarray*} f(A)=\{y\in Y~|~\dots\} \end{eqnarray*}$ , so oder so ähnlich solltest du das aufschreiben, den fehlenden Teil natürlich passend ausfüllen.

15.10.2011, 17:46

HeinzSupport

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Habe inzwischen festgestellt, dass der Stoff erst in der nächsten Vorlesung kommt. Naja vorarbeit schadet nicht. Anhand des Scripts würde ich jetzt schließen das $\begin{eqnarray*} F(A)=\left\{ y \in Y: \exists A \in X mit f(A)=y \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(B)=\left\{ y \in Y: \exists B \in X mit f(B)=y \right\} \end{eqnarray*}$ . Ist das so richtig?

15.10.2011, 19:04

Iorek

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Nein, das ist so nicht richtig. Bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine Menge, du willst aber jetzt etwas über die Elemente sagen, die in dieser Menge enthalten sind.

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15.10.2011, 19:54

HeinzSupport

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$\begin{eqnarray*} f(A)=\left\{ y\in Y| a \in A\subset B\subset X mit f(A)=y\right\} \end{eqnarray*}$ ?
Wenn das auch falsch ist muss ich wohl oder übel die Vorlesung abwarten.

15.10.2011, 20:02

Iorek

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Nein, das ist auch nicht richtig.

Die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist hier überflüssig, die braucht nicht erwähnt zu werden. Auch das $\begin{eqnarray*} f(A)=y \end{eqnarray*}$ ist falsch, du erklärst hier einen Ausdruck, indem du in der Erklärung den zu erklärenden Ausdruck verwendest.

Seien $\begin{eqnarray*} M,N \end{eqnarray*}$ Mengen und $\begin{eqnarray*} f:M\rightarrow N \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(M):=\operatorname{Bild}(f):=\{y\in N~|~\exists x\in M: f(x)=y\} \end{eqnarray*}$ . Für Teilmengen $\begin{eqnarray*} M'\subseteq M \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} f(M')=\{y\in N~|~\exists x\in M':f(x)=y\} \end{eqnarray*}$ .

15.10.2011, 20:14

HeinzSupport

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Vielen Dank, auf dem ersten Blick glaube ich es zu Verstehen. Werde allerdings erst Morgen weiterprobieren. Ich saß an der Aufgabe jetzt schon länger als an meiner Abitur Vorbereitung verwirrt

verwirrt

16.10.2011, 10:57

HeinzSupport

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So dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} f(X):= \left \{ y \in Y| \exists x \in X:f(x)=y \right \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B \subset X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(B):= \left \{ y \in Y| \exists x \in B:f(x)=y \right \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A):= \left \{ y \in Y| \exists x \in A:f(x)=y \right \} \end{eqnarray*}$

Aber ich denke mal das das nicht ausreicht, also:

$\begin{eqnarray*} f(A) \subset f(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \in f(A) \Rightarrow a \in f(B) \end{eqnarray*}$

16.10.2011, 11:45

Iorek

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Die Mengen stimmen nun, jetzt solltest du dich an den Beweis der Aussage machen. Den Anfang hast du auch schon fast hingeschrieben.

Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \end{eqnarray*}$ , was kannst du dann über das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sagen? Lässt sich daraus eine weitere Aussage treffen? Was für eine Rolle spielt hierbei die Teilmengenbeziehung $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ ?

16.10.2011, 12:29

HeinzSupport

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Da $\begin{eqnarray*} F(A) \end{eqnarray*}$ per Definition gleich $\begin{eqnarray*} \left\{y \in Y | \exists x \in A : f(x)=y\right\} \end{eqnarray*}$ ist,
ist $\begin{eqnarray*} y\in \left\{y \in Y | \exists x \in A : f(x)=y\right\}\rightarrow y\in \left\{y \in Y | \exists x \in B : f(x)=y\right\} \end{eqnarray*}$

Hast du bewusst $\begin{eqnarray*} y=f(A) \end{eqnarray*}$ geschrieben, weil es durch $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ definiert (ich glaube das Wort ist an der Stelle falsch) wird?

16.10.2011, 14:14

Iorek

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Ich habe gesagt, dass das von dir geschrieben $\begin{eqnarray*} y=f(A) \end{eqnarray*}$ falsch ist. Ansonsten habe ich das nirgendwo mehr verwendet.

Du hast bisher auch noch nichts bewiesen, du hast nur die zu zeigende Aussage aufgeschrieben, eine Begründung, warum aus $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} y\in f(B) \end{eqnarray*}$ folgt fehlt gänzlich.

16.10.2011, 15:03

HeinzSupport

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Sorry, Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \end{eqnarray*}$ . Gleichzeitig hab ich noch meine Frage vergessen. Ist der Ansatz $\begin{eqnarray*} y\in \left\{y \in Y | \exists x \in A : f(x)=y\right\}\rightarrow y\in \left\{y \in Y | \exists x \in B : f(x)=y\right\} \end{eqnarray*}$ richtig?

16.10.2011, 15:16

Iorek

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Das ist zu zeigende Aussage, nicht der Ansatz (sofern du mit $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ einen Folgerungspfeil $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ meinst). Einen möglichen Ansatz habe ich dir oben schon vorgegeben.

Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \end{eqnarray*}$ ...

16.10.2011, 15:59

HeinzSupport

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Ja ich meine $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nicht wie ich jetzt weitermachen soll, da das ganze eine Funktion / Abbildung ist. Ich werde einfach die Vorlesung morgen abwarten, das bringt sonst nicht wirklich viel. Danke trotzdem!

23.10.2011, 23:12

McFetz

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Hab so ne ähnliche Aufgabe, wesewegen ich gerne hier zu ner Lösung kommen möchte :

Meinst du dass aus der Annahme:

$\begin{eqnarray*} y\in f(A) \Rightarrow x\in A \Rightarrow x\in B \Rightarrow y\in f(B) \end{eqnarray*}$

folgt?

Der mittlere Part folgt ja von $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$

Letztlich folgt doch dann daraus aber

$\begin{eqnarray*} f(A)\subseteq f(B) \end{eqnarray*}$

Und jetz sagt mir bitte dass ich falsch liege Big Laugh

Big Laugh

!

24.10.2011, 07:42

Iorek

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Das ist der Grundgedanke, ja. Allerdings sollten die Schritte noch etwas ausführlicher und genauer aufgeschrieben werden.

24.10.2011, 14:58

McFetz

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Ok, hab mal nach weiterem rumüberlegen und verbaliesieren, dass hier raus:

Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \Rightarrow \forall x\in A: f(x)=y \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} A\subset B \Rightarrow \forall x\in B : f(x)=y \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} y\in f(B) \Rightarrow f(A) \subset f(B) \end{eqnarray*}$ qed

also hoffe ma dass das so richtig ist.

24.10.2011, 15:19

Iorek

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Wieso sollte $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ gelten? verwirrt

verwirrt

24.10.2011, 15:28

McFetz

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naja , es soll ja nur für alle x element A gelten für die gilt f(x)=y , da y ja hier nicht genauer definiert ist .. also man nicht weiss ob injektiv und oder surjektiv.

oder muss da das es gibt ein x wieder hin ?

24.10.2011, 15:41

McFetz

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naja vlt ist bei mir hier auch die schwierigkeit, dass meine aufgabenstellung eben dem ganzen gleicht, aber auch nicht zu 100 % , bei mir is zwar was ähnliches zu beweisen, nämlich dass 2 Teilmengen des Definitionsbereichs abgebildet auf den Wertebereich wieder Teilmengen von einander sind.

Nur sind bei mir die Teilmengen eben von Y(also Wertebereich) und wir betrachten die Inversen Abbildungen. Dementsprechend ist meine Abbildung eben auch bijektiv und damit denke ich ma dass es auch für alle Elemente der Teilmengen gilt, weil eben für jedes y genau eine Lsg x vorhanden ist.

oder lieg ich falsch ?

bin auch erst seit 3 wochen mit der materie am handtieren, dementsprechend is mir auch die Syntax noch nicht so vertraut.

24.10.2011, 15:49

McFetz

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ok ich glaube ich habs geblickt.

wenn ich schreibe $\begin{eqnarray*} \forall x \in A : f(x)=y \end{eqnarray*}$ dann bedeutet das, dass egal welches x ich einsetze, ich bekomme immer das eine y raus stimmts ?

dementsprechend is es müll...

also einfach den allquantor weglassen, dann passts oder?

24.10.2011, 15:56

McFetz

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Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \Rightarrow x\in A: f(x)=y \end{eqnarray*}$ des weiteren gilt auch $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} A\subset B \Rightarrow x\in B : f(x)=y \end{eqnarray*}$ also ist auch $\begin{eqnarray*} y\in f(B) \Rightarrow f(A) \subset f(B) \end{eqnarray*}$ qed

so... Daumen Hoch oder Runter?

24.10.2011, 17:56

Iorek

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Zitat:

Original von McFetz
Nur sind bei mir die Teilmengen eben von Y(also Wertebereich) und wir betrachten die Inversen Abbildungen. Dementsprechend ist meine Abbildung eben auch bijektiv und damit denke ich ma dass es auch für alle Elemente der Teilmengen gilt, weil eben für jedes y genau eine Lsg x vorhanden ist.

Dann würde ich hier gerne einhaken; sofern in der Aufgabe nicht angegeben ist, dass die Funktion bijektiv ist, existiert keine Umkehrabbildung. Von daher ist an dieser Stelle jedes weitere Besprechen einer nicht bekannten und evtl. missinterpretierten Aufgabe sinnlos.

Poste bitte einmal (in einem neuen Thread) deine Aufgabe im Originalwortlaut.

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