Integral Hilfe

02.01.2007, 17:00

Patriot

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Integral Hilfe

Ich schreib meine Facharbeit und hänge schon seit kangen beim Lösen des Integrals int(x-² e^x dx). Ich bitte um Hilfe, bin verzweifelt ... ich hab versucht es mit Produktintegration bzw. partielle Integration zu lösen aber da entstehen auch wieder Integrale wie int(- 1/x e^x dx) die ich wieder produktintegriere aber dann sowas (- ln(x) e^x dx) rauskommt und es bringt irgendwie nicht ... es geht immer weiter, das Integral bleibt immer erhalten .... und durch Substitutionsintegration ... kA ob es damit geht und wie ... Hilfe, so schnell wie möglich.

VIELEN VIELEN DANK!!!!

02.01.2007, 17:17

brain man

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RE: Integral Hilfe

Zitat:

Original von Patriot
Ich schreib meine Facharbeit und hänge schon seit kangen beim Lösen des Integrals int(x-² e^x dx). Ich bitte um Hilfe, bin verzweifelt ... ich hab versucht es mit Produktintegration bzw. partielle Integration zu lösen aber da entstehen auch wieder Integrale wie int(- 1/x e^x dx) die ich wieder produktintegriere aber dann sowas (- ln(x) e^x dx) rauskommt und es bringt irgendwie nicht ... es geht immer weiter, das Integral bleibt immer erhalten .... und durch Substitutionsintegration ... kA ob es damit geht und wie ... Hilfe, so schnell wie möglich.

VIELEN VIELEN DANK!!!!

Poste mal deine Rechenschritte.

02.01.2007, 17:47

Leopold

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Leider wird dir aus deiner Verzweiflung niemand heraushelfen können, jedenfalls nicht, wenn du eine Stammfunktion im üblichen Sinne suchst (also irgendeine Kombination aus elementaren algebraischen oder transzendenten Funktionen). Wozu brauchst du denn dieses Integral?

siehe auch hier

03.01.2007, 00:55

Patriot

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Ich brauche es um eine Differentialgleichung zu lösen
Hier meine Rechenschritte:
Gleichung statt y ist v die Veränderliche:

v' + v = ½ x-² - 1/2 x

Mit der Formel v = e^ - int P(x) dx {int e^int P(x) dx Q(x) dx + c}
wird weitergerechnet ... Ziel ist ja eine Lösung für v zu finden.
P(x) = 1 und Q(x) = ½ x-² - 1/2 x

v = e^ - int 1 dx {int e^ int 1 dx (½ x-² - 1/2 x) dx + c}

v = e^-x { ½ int e^x x-² dx - ½ inte^x x-1 dx + c}

Das Integral int e^x x-² dx wird durch Produktintegration gelöst.
Formel für Produktintegration:
int u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - int u'(x) v(x) dx

u(x) = e^x u'(x) = e^x
v(x) = - 1/x v'(x) = x-²

int e^x x-² dx = - 1/x e^x - int - 1/x e^x dx

Der entstandene Integralterm int - 1/x e^x dx wird nun wieder durch Produktintegration gelöst.

m(x) = ex m'(x) = ex
n(x) = - ln(x) n'(x) = - 1/x

int e^x x-² dx = - 1/x e^x - (- ln(x) e^x - int - ln(x) e^x dx)

... keine Ahnung wie es weiter geht, soll ich wieder mit Produktintegration weiter machen oder substituieren .. HILFE

03.01.2007, 05:04

zt

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Hat jmd. 'ne Idee, wie $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ aussehen muss/könnte, damit die Gleichung (unten) erfüllt ist? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} 1=(v(x))'+\frac{x-2}{x}\cdot{v(x)} \end{eqnarray*}$ . Ich denke mal, das wird garnicht so schwer sein, nur fällt mir im Moment nix Gescheites ein. traurig

traurig

Edit: @ Patriot: Das kannst'de kniggn. Mit partieller Integration - oder wie auch immer -, kommt man hier nicht weit.

03.01.2007, 05:48

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Ich denke mal, das wird garnicht so schwer sein

Doch, ist es. Um genau zu sein, ist es unmöglich.

(Genauso unmöglich, wie eine Partikulärlösung zu Patriots Problem zu finden.)

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03.01.2007, 11:59

zt

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Zitat:

Original von sqrt(2)

Zitat:

Original von Zahlentheorie
Ich denke mal, das wird garnicht so schwer sein

Doch, ist es. Um genau zu sein, ist es unmöglich.

Kann man das schon sehen, bevor man anfängt irgendwas zu integrieren? Wenn ja, woran sieht man das?

03.01.2007, 12:40

Leopold

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Von gewissen Integralen ist bekannt, daß sie nicht elementar integrierbar sind, z.B. von

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\operatorname{e}^x}{x}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

dem sogenannten Exponentialintegral. Partielle Integration zeigt nun

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\operatorname{e}^x}{x^2}~\mathrm{d}x = - \frac{\operatorname{e}^x}{x} + \int~\frac{\operatorname{e}^x}{x}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung zeigt: Hätte das linke Integral eine elementare Lösung, so auch dasjenige auf der rechten Seite. Widerspruch!

03.01.2007, 16:18

Patriot

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OK!

unglücklich

Wenn das x im Nenner steht und e^x im Zähler dann gehts wohl net. Man kann keine normale Stammfunktion berechnen ...
Mein Problem mit der Diffgleichung hat sich gelöst ... ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehn *peinlich* ... das Integral kürzt sich raus:

v = e^-x { ½ int e^x x-² dx - ½ int 1/x e^x dx + c}

Das Integral int e^x x-² dx wird durch Produktintegration gelöst.

Nebenrechnung:

u(x) = e^x u'(x) = e^x
v(x) = - 1/x v'(x) = x-²

int e^x x-² dx = - 1/x e^x - int - 1/x e^x dx <-- Fällt weg

Als nächstes wird das Integral int e^x x-² dx in der Gleichung
v = e^-x { ½ int e^x x-² dx - ½ int 1/x e^x dx + c} durch - 1/x e^x - int - 1/x e^x dx ersetzt.

=> v = e^-x {- 1/2 x e^x + ½ int 1/x e^x dx - ½ int 1/x e^x dx + c}
v = e^-x {- 1/2 x e^x + c}
v = - 1/2 x + c e^-x

Fast fertig wie einfach das ist .... nur noch rücksubstituieren
y = yeins + 1/v yeins = x (PARTIKULÄRLÖSUNG)
y = x + (- 1/2 x + c e^-x)^-1
hoffe das stimmt

03.01.2007, 16:37

sqrt(2)

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Dein Rechnung ist nicht übersichtlich genug, aber dein Ergebnis ist falsch, wie durch einfaches Einsetzen zu überprüfen.

Wenn übrigens die einschlägige Software die Differenzialgleichung nicht lösen kann, würde ich nicht noch lange nach einer Lösung schauen (auch wenn ich Mathematica schon falsch integrieren gesehen habe, allzu häufig wird das nicht sein).

04.01.2007, 18:30

Patriot

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Die Lösung ist falsch? ... Was ist falsch und wo? ... Ich hab die Aufgabe ein paar mal durchgerechnet und komme immer auf das Ergebnis.
Was ist in meinem letzten Post genau falsch ... mehr will ich nicht wissen .... danke

05.01.2007, 14:38

Patriot

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Weiß jemand was falsch ist?

05.01.2007, 14:40

sqrt(2)

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Du könntest das einfach mal in einer Form aufschreiben, in der man das auch durchsehen möchte...

05.01.2007, 15:35

Patriot

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C:\Dokumente und Einstellungen\Metal Fatigue\Desktop

05.01.2007, 15:57

sqrt(2)

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Findest du es prinzipiell nicht auch sinnvoll, dass, wenn du auf Bilder auf deinem eigenen Rechner verlinkst, die niemand außer genau dir sehen kann?

05.01.2007, 16:42

Lazarus

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Du könntest das einfach mal in einer Form aufschreiben, in der man das auch durchsehen möchte...

Diese dezente Anspielen von sqrt(2) soll bedeuten, wenn du den Formeleditor benutzt schaut das gleich viel besser aus, und dann wird dir jemand sofort sagen können wo der Fehler liegt.

Es ist einfach angenehmer zu lesen...

05.01.2007, 20:46

Calvin

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Ich habe heute meinen spendablen Tag Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Patriot
OK! unglücklich

unglücklich

Wenn das x im Nenner steht und e^x im Zähler dann gehts wohl net. Man kann keine normale Stammfunktion berechnen ...
Mein Problem mit der Diffgleichung hat sich gelöst ... ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehn *peinlich* ... das Integral kürzt sich raus:

$\begin{eqnarray*} v = e^{-x}\left(\frac{1}{2}\int~e^x x^{-2}\,\dd x - \frac{1}{2} \int~\frac{1}{x}e^x\,\dd x + c\right) \end{eqnarray*}$

Das Integral $\begin{eqnarray*} \int~e^x x^{-2}\,\dd x \end{eqnarray*}$ wird durch Produktintegration gelöst.

Nebenrechnung:

$\begin{eqnarray*} u(x) = e^x\qquad u'(x) = e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v(x) = - \frac{1}{x}\qquad v'(x) = x^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~e^x x^{-2}\,\dd x = - \frac{1}{x} e^x - \int~-\frac{1}{x} e^x\,\dd x \end{eqnarray*}$ <-- Fällt später weg

Als nächstes wird das Integral $\begin{eqnarray*} \int~e^x x^{-2}\,\dd x \end{eqnarray*}$ in der Gleichung
$\begin{eqnarray*} v = e^{-x} \left( \frac{1}{2}\int~e^x x^{-2}\,\dd x - \frac{1}{2} \int~\frac{1}{x}e^x\,\dd x + c\right) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{x} e^x - \int~-\frac{1}{x} e^x\,\dd x \end{eqnarray*}$ ersetzt.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v = e^{-x} \left(- \frac{1}{2x} e^x + \frac{1}{2}\int~\frac{1}{x}e^x\,\dd x - \frac{1}{2}\int~\frac{1}{x}e^x\,\dd x + c\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = e^{-x}\left(- \frac{1}{2x}e^x + c\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = - \frac{1}{2x} + c e^{-x} \end{eqnarray*}$

Fast fertig wie einfach das ist .... nur noch rücksubstituieren

In der obigen Rechnung (ohne die Richtigkeit der ersten Zeile zu kennen) konnte ich auf die Schnelle keinen Fehler finden. Ab da muss auf jeden Fall noch jemand anderes schauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y = y_1 + \frac{1}{v}\qquad \text{mit } y_1 = x \end{eqnarray*}$ (PARTIKULÄRLÖSUNG)

$\begin{eqnarray*} y=x+\left(-\frac{1}{2}x+ce^{-x}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$
hoffe das stimmt

05.01.2007, 21:31

sqrt(2)

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Mir ist auch nicht klar, wo die erste Zeile herkommt. Es sieht nach Variation der Konstanten aus, aber so ganz passt das nicht.

05.01.2007, 21:57

Calvin

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v kommt wohl von hier. Aber das ist für mich absolut unlesbar. Keine Ahnung, was da in die verschiedenen Exponenten kommt.

Zitat:

Original von Patriot
Ich brauche es um eine Differentialgleichung zu lösen
Hier meine Rechenschritte:
Gleichung statt y ist v die Veränderliche:

v' + v = ½ x-² - 1/2 x

Mit der Formel v = e^ - int P(x) dx {int e^int P(x) dx Q(x) dx + c}
wird weitergerechnet ... Ziel ist ja eine Lösung für v zu finden.
P(x) = 1 und Q(x) = ½ x-² - 1/2 x

v = e^ - int 1 dx {int e^ int 1 dx (½ x-² - 1/2 x) dx + c}

v = e^-x { ½ int e^x x-² dx - ½ inte^x x-1 dx + c}

06.01.2007, 13:13

Patriot

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Sorry, wie dumm von mir

http://img231.imageshack.us/img231/3605/madiffgltv4.jpg

06.01.2007, 13:35

Patriot

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Ich habe jetzt die ganze Aufgabe von Anfang an mit der Veränderliche y, noch bevor die Substitution erfolgt hochgeladen ... es ist eine riccati diffgl.

http://img47.imageshack.us/img47/816/mathedffglkk3.png

06.01.2007, 16:18

sqrt(2)

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Deine Lösung ist richtig. Ich habe vorhin "1/2 x" für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$ gehalten und nicht für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ .

06.01.2007, 20:06

Patriot

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Ich danke euch allen für eure Hilfe ... Freude

Freude

@ sqrt(2)
thx für die bestätigung ... die Unsicherheit ist weg smile

smile

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