Ideal-Ring-Polynomring

15.10.2011, 18:22

ThomasRe

Ideal-Ring-Polynomring

Guten Abend miteinander

Eine Frage: Hat die folgende Definition / Satz einen Namen, bzw. kann man irgendwo einen Beweis oder nähere Erklärungen nachlesen?
Für mich ist der Satz nämlich nicht "trivial"...

[attach]21490[/attach]

Gruss, Thomas

15.10.2011, 19:05

galoisseinbruder

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Ich weiß nicht was $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^{(S)} \end{eqnarray*}$ ist, gehe jetzt aber mal davon aus ,dass $\begin{eqnarray*} R[S] \end{eqnarray*}$ der Standardpolynomring in S ist.
Dann musst Du dir eigentlich nur überlegen was $\begin{eqnarray*} R[S]\cap R \end{eqnarray*}$ ist.

Beim Schreiben kommt mir grade: ist S eine Familie von Variablen? (dann geht der Beweis aber genauso.)

15.10.2011, 20:42

ThomasRe

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Sorry dass ich das nicht erwähnt habe.
Wir haben definiert:
R kommutativer Ring mit Eins, I Teilmenge von R ist ein Ideal. S sei die Menge von Unbestimmten. Zudem verwenden wir
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{ \alpha \in \mathbb N^{(S)}} a_{_\alpha} S^{\alpha} \end{eqnarray*}$ um die Elemente von R[S] zu beschreiben. $\begin{eqnarray*} S^{\alpha} := \prod_{s \in S} s^{\alpha(s)} \end{eqnarray*}$

Danke für den Tipp. Momentan komme ich aber leider noch nicht viel weiter..

15.10.2011, 20:44

galoisseinbruder

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Überlegs Dir mal im einfachsten Fall: $\begin{eqnarray*} S=\{X\} \end{eqnarray*}$ .

15.10.2011, 20:54

ThomasRe

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Schlussendlich muss $\begin{eqnarray*} R[X] \cap R \end{eqnarray*}$ ja gerade I geben. Aber wie gesagt..die Äquivalenz seh ich hier noch nicht.

15.10.2011, 20:56

galoisseinbruder

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Nein; muss es nicht, tut es nicht.
War nur als einfaches Bsp. gedacht um zu sehen was passiert.

15.10.2011, 22:31

ThomasRe

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Also R[X] ist ja a_0+a_1*X+...+a_n*X^n
und R ist...?

15.10.2011, 22:36

galoisseinbruder

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R ist der Ring in dem die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ´s leben, oder formaler $\begin{eqnarray*} a_i \in R \quad \forall i \end{eqnarray*}$ , manchmal auch Grundring genannt.
Und R[X] ist der Ring aller Polynome nicht nur eines.

15.10.2011, 22:54

ThomasRe

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Das heisst, der Durchschnitt besteht aus den a_i's , oder? smile

15.10.2011, 23:08

galoisseinbruder

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Vielleicht meinst Du das richtige, aber das was Du geschrieben hast ist relativ sinnfrei.
Schau Dir vielleicht nochmal die Definitionen genau an.

15.10.2011, 23:25

ThomasRe

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Also wenn R der Raum der a_i's ist, dann meine ich R selbst.

15.10.2011, 23:29

galoisseinbruder

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Ja, $\begin{eqnarray*} R[X]\cap R =R \end{eqnarray*}$
Und eine sehr ähnliche Überlegung kannst Du an Dein ursprüngliches Problem anwenden.

16.10.2011, 00:03

ThomasRe

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Ah.. R[S] geschnitten mit R ist dann der Raum der $\begin{eqnarray*} a_{ \alpha} \end{eqnarray*}$ , und da $\begin{eqnarray*} a_{ \alpha} \in I \end{eqnarray*}$ folgt, dass die Schnittmenge I ist.

16.10.2011, 12:20

galoisseinbruder

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Zitat:

der Raum der $\begin{eqnarray*} a_{ \alpha} \end{eqnarray*}$ ,

Was soll das sein? Was ist ein Raum?

16.10.2011, 17:12

ThomasRe

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Tschuldige, ich war wohl müde.
Ich meine Ring, nicht Raum.

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