Quadratwurzel modulo 2er-Potenz |
15.10.2011, 18:34 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » |
Quadratwurzel modulo 2er-Potenz Ich studier jetzt schon eine ganze Weile an einer Aufgabe herum und drehe mich im Kreis. Ausgangslage: Sei a eine ungerade Zahl und sei r>3. Zu zeigen: Aus folgt Ich habe verschiedene Ansätze probiert, z. B. habe ich mir überlegt (via einer früheren Aufgabe), dass a nur eine Wurzel modulo 2^r haben kann, wenn gilt. Auch habe ausgerechnet, dass gelten muss. Schliesslich habe ich mir auch überlegt, dass gelten muss und habe dann versucht, damit den Ausdruck so weit zu modulo 2^r zu vereinfachen, dass letztlich a herauskäme, also die Aussage direkt durch nachrechnen zu zeigen Eine weitere Idee, war folgende: Aus habe ich gefolgert, dass gilt und damit, nach Umformung auch bzw. . Hier muss ich aber einen Fehler gemacht haben, denn da mit a auch x kein Vielfaches von 2 bzw. 2^r sein kann, würde daraus bzw. folgen, d.h. jede Wurzel von a modulo 2^(r-1) wäre automatisch auch Wurzel von a modulo 2^r -- dann bräuchte es ja diese ganze Umformung mit dem Bruch gar nicht. Lange Rede kurzer Sinn: Ich wäre froh um einen Denkanstoss. Danke & Gruss |
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15.10.2011, 18:52 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hab mir deine Vorschläge nicht alle durchgelesen, dazu fehlt mir die Konzentration (es kann ganz schön anstrengend sein, sich in anderer Leute Gedanken reinzuversetzen - manchmal viel anstrengender, als selbst eine Lösung zu finden), ich weise nur auf folgendes hin: kann man in zwei Fälle aufsplitten: (1) (2) Beide Fälle durchrechnen, fertig. EDIT: Als Vorbetrachtung ist sicher noch folgendes hilfreich: Es gilt , folglich auch , was wegen Voraussetzung letzlich auch bedeutet. Damit ist schon mal klar, anschließend die angesprochene Fallunterscheidung vornehmen. |
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15.10.2011, 20:51 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine Antwort; habe erst jetzt deine Ergänzung gesehen, damit wird meine Nachfrage hinfällig. Muss jetzt zuerst lesen... |
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15.10.2011, 20:53 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hatte in der Zwischenzeit meinen Beitrag ergänzt, hast du wohl (noch) nicht mitgekriegt. Jedenfalls ist dann auch Fall (2) ein Einzeiler. |
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15.10.2011, 21:57 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wow, also diese Umformungen sind ja schon recht trickreich, kein Wunder, dass ich das nicht gesehen habe. Ich hatte mich noch gefragt, an welcher Stelle ich die Voraussetzung r>3 einbringen könnte, bin aber nicht darauf gekommen. Und leider (vielleicht bin ich schon zu lange dran) komme ich auch bei nicht auf etwas Schönes. Da müsste doch eigentlich a herauskommen, und deinem Hinweis folgend («Einzeiler») sogar recht rasch. Auf jeden Fall schon vielen Dank, du hast mir schon sehr geholfen. |
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15.10.2011, 22:07 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
An der Stelle forme ich so weiter um: , denn der letzte Summand ist (wieder wegen r>3) durch teilbar. Der vorletzte aber auch, wobei hier die Ungeradheit von benutzt wird! |
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15.10.2011, 22:12 | Philipp Imhof | Auf diesen Beitrag antworten » |
meine Güte! Wenn man das liest, sieht es immer so einfach aus... Ich sehe schon, mein Weg ist noch weit. Besten Dank & noch einen schönen Abend |
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15.10.2011, 22:14 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gern geschehen - ich freue mich, dass ich dir mit meinem zahlentheoretischen Halbwissen weiterhelfen konnte. |
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