Vollständige Induktion bei doppelter Ungleichung

15.10.2011, 18:56

ars

Vollständige Induktion bei doppelter Ungleichung

Meine Frage:
Hallo liebe Mathematikfreunde!

Es ist Wochenende, ich sitze an meinen verbliebenen Übungsblättern - nun ist Analysis an der Reihe!

Es geht um einen Beweis mittels vollständige Induktion bei einer Ungleichung. Ich habe schon einige dieser Beweise geführt, aber noch nie mit einer doppelten Ungleichung, ihr seid deshalb meine letzte Hoffnung Augenzwinkern

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \leq \sum\limits_{i=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{i} \leq n \end{eqnarray*}$

IA:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \leq \sum\limits_{i=1}^{1} 1 \leq 1 \end{eqnarray*}$
...ist soweit glaub ich klar dass es für n = 1 gilt

IS:

* Hier müsste der Ansatz stehen auf den ich nicht komme, deshalb geht
* nichts voran...

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2} \leq \sum\limits_{i=1}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{i} \leq n+1 \end{eqnarray*}$
...das müsste das Endergebnis sein.

Könntet mir vielleicht wer einen Tipp zum Induktionsschluss geben?

15.10.2011, 19:10

Iorek

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Wenn dich die doppelte Ungleichung stört, könntest du es ja auch einfach aufteilen.

1. Behauptung: $\begin{eqnarray*} \frac n2\leq\sum\limits_{i=1}^{2^n-1} \frac 1i \end{eqnarray*}$

2. Behauptung: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{2^n-1} \frac 1i \leq n \end{eqnarray*}$

15.10.2011, 20:32

ars

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Ist der Nachfolger von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{2^n-1} \frac 1i \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{2^n-1} \frac 1i + 2(\frac 1i) \end{eqnarray*}$

?

15.10.2011, 20:37

Iorek

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Nein. Wie sieht denn der $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ te Summand aus?

15.10.2011, 20:53

ars

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ich würde sagen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{(n+1)}-1} \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{2^n-1} \frac 1n + \frac{1}{2^{(n+1)}-1} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?
ist indexverschiebung eine option? ich dachte mir es wäre notwendig um das -1 wegzubekommen damit nur noch $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ über den sigma steht^^

was mach ich mit dem "linken" teil der ungleichung? zähl ich zu $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ dann auch das gleiche dazu?

17.10.2011, 08:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von ars
ich würde sagen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{(n+1)}-1} \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{2^n-1} \frac 1n + \frac{1}{2^{(n+1)}-1} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

Das ist falsch. Vergleiche mal $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{2^n-1} \frac 1 i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{2^{n+1}-1} \frac 1 i \end{eqnarray*}$ .

Welche Summanden sind in der 2. Summe im Vergleich zur 1. Summe hinzugekommen?

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