Struktursatz für Ganzheitsring

15.10.2011, 18:01

BluesSister

Struktursatz für Ganzheitsring

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein kleines Problem beim Beweis zum Struktursatz für Ganzheitsringe.
Der Satz lautet folgendermaßen: Sei K = Q(Wurzel(d)), mit d aus den rationalen Zahlen quadratfrei, ein quadratischer Zahlkörper. Dann ist der ring der ganzen Zahlen O_k = Z[Wurzel(d)], falls d kongruent 2 oder 3 mod 4 und O_k = Z[(1+Wurzel(d))/2], falls d kongruent 1 mod 4.

Meine erste Frage: Bedeutet dass, dass der Ring O_k der ganzen Zahlen gegeben ist durch Z[Wurzel(d)] falls d kongruent 2,3 mod 4 ist und analog für den anderen Fall?

Jetzt kommt man zum Beweis. Schwierig ist ja nur der Fall d kongruent 1 mod 4. Es geht um die Richtung, dass wenn gilt d kongruent 1 mod 4, dass dann gilt O_k = Z[(1+Wurzel(d))/2], falls d kongruent 1 mod 4 . In meinem vorliegenden Beweis wird damit argumentiert, dass die Spur und die Norm von (1+Wurzel(d))/2 in den ganzen Zahlen liegen.

Meine Ideen:
Warum kann ich, wenn die Spur und Norm ganze Zahlen sind, daraus folgern, dass auch (1+Wurzel(d))/2 ganz ist?????

Dann steht noch da, dass die ganzen Zahlen einen Ring bilden (klar) und daraus folgt Z[Wurzel(d)] ist Teilmenge oder gleich O_k.
Warum ist da ein mögliches Teilmengen-Symbol, ich dachte dann muss dort Gleichheit sein?????
Danke für eure Antworten!

15.10.2011, 18:29

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal: Der Ring der ganzen Zahl ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_K \end{eqnarray*}$ ist der Ganzheitsring von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ; sprich der ganze Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Das sind zwei verschiedene Sachen.

Zitat:

Warum kann ich, wenn die Spur und Norm ganze Zahlen sind, daraus folgern, dass auch (1+Wurzel(d))/2 ganz ist?

Weil $\begin{eqnarray*} \frac{1+\sqrt{d}}{2} \end{eqnarray*}$ Nullstelle des Polynoms X²-Spur X+Norm ist, sprich eine Ganzheitsgleichung über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ hat.

Zitat:

dass die ganzen Zahlen einen Ring bilden (klar) und daraus folgt Z[Wurzel(d)] ist Teilmenge oder gleich O_k. Warum ist da ein mögliches Teilmengen-Symbol, ich dachte dann muss dort Gleichheit sein

Ich gehe davon aus das der Beweis von folgender Form ist:
ganzer Abschluss von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[ \frac{1+\sqrt{d}}{2}] \end{eqnarray*}$
und ist Obermenge.

Neue Frage »

Antworten »

Struktursatz für Ganzheitsring

Verwandte Themen