Topologie, Homöomorphismus

16.10.2011, 10:52	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie, Homöomorphismus Seien $\begin{eqnarray} B_1, B_2\subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ Kreisscheiben (disks) mit $\begin{eqnarray} B_2\subset int B_1 \end{eqnarray}$ . Nun soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} B_1\backslash int B_2 \end{eqnarray}$ homöomorph zu $\begin{eqnarray} A=\{v \in \mathbb{R}^2\|1\leq \|\|v\|\|\leq 2\} \end{eqnarray}$ Intuitiv ist mir das klar, aber wie kann ich es formal beweisen? Jemand eine Idee? Wäre froh um eure Hilfe. Vielen Dank!
16.10.2011, 11:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gib einen Homöomorphismus an Glücklicherweise sind die Mengen kompakt, deswegen musst du nur Bijektivität und Stetigkeit zeigen. Du kannst dir dazu überlegen, ob du mit Polarkoordinaten oder kartesischen Koordinaten arbeiten willst.
16.10.2011, 12:15	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist einfacher gesagt als getan. Man schickt ja wohl am besten: $\begin{eqnarray} \partial B_1 \backslash int B_2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \partial A \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \partial A=\{\binom{cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}, \binom{2cos(\alpha)}{2\sin(\alpha)}\} \end{eqnarray}$ Und das Innere jeweils auf das Innere der andern Fläche, aber wie kann ich jetzt zeigen, dass das tatsächlich ein Homöomorphismus definiert. Ich müsste ja zeigen, dass das bijektiv ist und $\begin{eqnarray} f,f^{-1} \end{eqnarray}$ stetig sind.
16.10.2011, 16:11	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Am anschaulichsten kommst du wohl so zum einem Homöomorphismus: 1) Du kannst dich oBdA darauf beschränken, dass der Mittelpunkt von B im Ursprung liegt (Translationen sind Homöomorphismen) 2) Nun musst du die durch den Ursprung gehenden Geraden, in (stetiger) Abhängikeit des Winkels $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ strecken. Der Teil der Gerade der in B liegt wird natürlich nur um den Konstanten Faktor $\begin{eqnarray} 1/r_B \end{eqnarray}$ gestreckt. Den anderen Teil musst du nun halt in Abhängikeit des Winkel strecken und nachweisen, dass das Ganze stetig ist.
16.10.2011, 16:12	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch einfach den inneren Radius r auf 1 und den äußeren Radius R auf 2 normieren (Das meinst du wohl damit, was du geschrieben hast). Dazwischen läuft einfach alles linear ab, d.h. ein Punkt mit dem Radius (r+R)/2 wird auf ein Punkt vom Radius 1,5 abgebildet. Du musst das ganze jetzt nur noch korrekt mathematisch beschreiben, das ist aber wirklich gar nicht schwer.
16.10.2011, 17:41	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Danke viemals euch beiden!
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