Äquivalentzrelation beweisen und Klassen von Tripeln angeben

16.10.2011, 12:05

dUDeee

Äquivalentzrelation beweisen und Klassen von Tripeln angeben

Meine Frage:
Ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich leider auch mithilfen von Wikipedia nicht weiterkomme...weil ich absolut keine Ahnung von Äquivalentzrelationen habe....vlt kann mir wer helfen

Sei A = {0; 1; 2;...; 9} die Menge der Ziffern von 0 bis 9. Die Produktmenge A³ ist die Menge aller geordneten Zifferntripel. Wir defi nieren eine Relation R $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ (A³)²:
((x1; x2; x3); (y1; y2; y3)) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R <=> {x1; x2; x3} = {y1; y2; y3}
d.h. zwei Tripel stehen in Relation genau dann, wenn die beteiligten Ziffern dieselben sind - in eventuell anderer Reihenfolge.
a) Zeigen Sie, dass R eine Aquivalenzrelation ist!
b) Geben Sie die Aquivalenzklassen der Tripel u1 = (1; 3; 7), u2 = (1; 1; 5) und u3 = (2; 2; 2) an!

Meine Ideen:
Also zum Beweis muss ich ja Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen, also zeigen dass das hier gilt, nur muss ich jetzt dann meine Menge A x A bilden um das zu zeigen oder wie muss man das machen?

bei der b) dachte ich anfangs ich muss nur die anderen Tripel hinschreiben (einzelnen faktoren vertauschen)..aber dann gäbs ja bei dem u3 tripel überhaupt keine weiteren?!

16.10.2011, 15:25

Wetal

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für a) musst du nicht mit AxA arbeiten, sondern mit AxAxA = A³. da musst du halt z.b. zeigen:

sei $\begin{eqnarray*} x= (x_1, x_2, x_3) \in A^3 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ usw. das sollte alles nicht schwer sein..

zu b)

nein, man muss nicht "nur" die anderen trippel schreiben. u_1, u_2 und u_3 tauchen da ebenfalls auf. dass u3 nun mal alleine in seiner äquivalenzrelation ist, kann man nicht ändern. eine äquivalenzklasse kann auch aus nur einem element bestehen.

16.10.2011, 17:59

weisbrot

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@wetal:

Zitat:

sei $\begin{eqnarray*} x= (x_1, x_2, x_3) \in A^3 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$

das ist nicht ganz richtig, da wie schon von dudeee geschrieben $\begin{eqnarray*} R\subseteq(A^3)^2 \end{eqnarray*}$
lg

16.10.2011, 19:33

Wetal

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joa gut, dann ist es halt $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R \end{eqnarray*}$ .

16.10.2011, 22:34

dUDeee

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toll...das hilft mir aber jetz wenig weiter...weil ich jetz net wirklich weiß was ich bei a) genau machen muss..muss ich i-was einsetzen und ausrechnen oder gleichsetzen oder irgendwas...

ich komm mir scho dumm vor^^

16.10.2011, 22:41

weisbrot

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also prüfen wir doch mal reflexivität.
sei $\begin{eqnarray*} x:=(a,b,c)\in A^3 \end{eqnarray*}$ .
es gilt offenbar $\begin{eqnarray*} \left\{a,b,c\right\}=\left\{a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} x\sim_R x \end{eqnarray*}$ , also ist die reflexivität gezeigt.
nun fehlt noch transitivität und symmetrie.
lg

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