Funktionsschar berechnen |
| 16.10.2011, 12:34 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktionsschar berechnen Hallöchen, ich soll von der Funktionsschar: fk(x)=x^5-kx^3, die Schnittpunkte, Extrem- und Wendepunkte, sowie das Verhalten imk Unendlichen berechnen. Meine Ideen: Also, bei den Schnittpunkten habe N1(0|0) und N2 (0|3.Wurzel k) Bei den Extrempunkte habe ich Probleme, da habe ich für x erstmal Wurzel aus 9/10k raus. Wie komme ich nun auf y? Einsetzen und dann habe ich 0,7684k-0,853k^2 raus und nun??? |
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| 16.10.2011, 12:48 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
N2 stimmt schon nicht, es gibt sogar auch noch N3. 
Rechne nochmal genau nach. |
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| 16.10.2011, 12:53 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die zügige Antwort. Also: 0=x^5-kx^3 z=x^3 Dann ist 0=z^2-kz oder? Dann p,q Formel: z1,2= k/2 +/- -(k/2) Ja, stimmt bei N3 muss noch die negative Zahl rauskommen, wegen dem Ziehen der Wurzel. |
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| 16.10.2011, 12:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Substituieren ist hier nicht sinnvoll, denn nur aus x^6 wird doch dann auch wirklich z². Klammere hier einfach x³ aus und nutze aus, dass ein Produkt genau dann null wird, wenn... |
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| 16.10.2011, 13:02 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, danke Björn das habe ich verwstanden (Lösung 0; Wurzel k und - Wurzel k) Aber was mache bei den Extrempunkten falsch??? |
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| 16.10.2011, 13:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Prima, deine Nullstellen sind nun korrekt. Man könnte jetzt noch eine Fallunterscheidung für die Anzahl der Nullstellen machen. Was du bei den Extrempunkten verkeht machst, kann ich ohne geposteten Rechenweg nicht sagen.
Vom Prinzip her laufen zunächst wieder dieselben Schritte wie eben ab. |
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| 16.10.2011, 13:08 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe nun bei den Extrempunkte statt substitution nun auch ausgeklammert und komme bei x auf 0 Wurzel 3/5 k und - Wurzel 3/5 k. Ist das Richtig? |
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| 16.10.2011, 13:10 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine neuen Extremstellen stimmen nun. Die Begründung warum bei den Nullstellen eine Substitution nichts bringt hatte ich ja erwähnt. Nur bei x^6-kx^3 hätte man das z.B. machen können bzw allgemein wenn der eine Exponent das Doppelte des anderen ist. |
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| 16.10.2011, 13:21 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So jetzt beim ausrechnen, ob es sich um Hoch bzw Tiepunkt handelt habe ich Probleme: Was ist denn 20*Wurzel(3/5k)^3 - 6k* Wurzel(3/5k) ? |
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| 16.10.2011, 13:30 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um das richtig zu deuten empfehle wiederum das Ausklammern von |
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| 16.10.2011, 16:29 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich komme jetzt irgendwie nicht weiter, ich sehe leider den sinn des ausklammerns jetzt nicht, tut mir leid. Ich stehe irgendwie auf dem schlauch. |
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| 16.10.2011, 16:31 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt wollt ich gerade antworten da editierst du wieder :P |
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| 16.10.2011, 16:37 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldigung, aber ich habe jetzt eine andere Frage (siehe über den Beitrag). |
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| 16.10.2011, 16:40 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ausklammern ist meist sinnvoll, denn dadurch entstehen Produkte, mit denen es oft leichter ist bestimmte Schlussfolgerungen zu tätigen. Was erhälst du denn wenn du wie vorgeschlagen ausklammerst ? |
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| 16.10.2011, 16:46 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann habe ich: Wurzel 3/5k (-6k+20*(3/5)k) Also: y= 6k Aha! Aber was mache ich mit dem AUSGEKLAMMERTEN Wurzel 3/5k ? Ist das die 2.Lösung? Glückwunsch zum 10 000 Beitrag übrigens! |
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| 16.10.2011, 16:51 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf was du so achtest, wär mir glaub ich nie wirklich aufgefallen. 
Danke sehr
Ok die 2. Ableitung hat also an der Extremstelle den Wert . Die Frage ist jetzt (falls in der Aufgabe nicht explizit ein bestimmter Definitionsbereich für k angegeben ist) für welche k dieser Wert kleiner oder größer als null wird. |
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| 16.10.2011, 16:57 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, ja ich vergaß, k ist Element der reelen Zahl. |
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| 16.10.2011, 17:03 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Joa das wären ja dann alle Zahlen, damit darfst du nun bestimmte Fälle unterscheiden.
Welche Fälle für k könnten hier also interessant für das Vorzeichen sein ? |
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| 16.10.2011, 17:04 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ist Wurzel 3/5k ein tiefpunkt und -Wurzel 3/5k ein Hochpunkt (gehe wir davon mal aus, dass mit den Fallunterscheidung ist ein riesen Aufwand und ich will die Aufgabe heute wenigstens einmal durchgerechnet haben, sonst schaff ich das nicht mehr...) und 0/0 ein Sattelpunkt. Jetzt setze ich Wurzel 3/5k in Ursprungsgleichung um y zu haben ein. Dann ausklammern und ich komme auf y=(Wurzel 3/5k)^3 - 2/5k Kann ich da jetzt noch was machen? |
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| 16.10.2011, 17:08 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, so kann man das nicht sagen bzw machen. Ich erwähnte ja was nun folgen muss: 1) für k<0 gilt.... 2) für k=0 gilt... 3) für k>0 gilt... |
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| 16.10.2011, 17:10 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Können wir das jetzt nicht einfach überspringen, ich muss ja auch noch die Wendepunkte und Ortskurve bestimmen, sonst werde ich ja gar nicht mehr fertig. Oder wird es jetzt dann komplett falsch?! |
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| 16.10.2011, 17:16 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man bei Funktionsscharen keine Fallunterscheidungen durchführt, dann wird es recht wenige Punkte geben.
Das (einfache) Thema ohne Fallunterscheidungen habt ihr ja bestimmt schon durch (also die normalen Kurvendiskussionen ohne Parameter). Auch bei den Wendepunkten wird es wieder auf Fallunterscheidungen hinauslaufen und bei den Nullstellen hattest du es ja auch schon ignoriert trotz Hinweis. |
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| 16.10.2011, 17:27 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei Wurzel 3/5k 1) Für k<0 gilt k ist nicht definiert 2) Für k=0 gilt k ist ein ein Sattelpunkt 3) Für k>0 gilt k ist ein Tiefpunkt Bei - Wurzel 3/5k 1) Für k<0 gilt k ist nicht definiert 2) Für k=0 gilt k ist ein ein Sattelpunkt 3) Für k>0 gilt k ist ein Hochpunkt und Vollständigkeitshalber bei Schnittpunkten: -Wurzel k 1) Für k<0 gilt k ist nicht definiert 2) Für k=0 gilt k ist ein ein Sattelpunkt 3) Für k>0 gilt k ist es ...? und bei Wurzel k 1) Für k<0 gilt k ist nicht definiert 2) Für k=0 gilt k ist ein ein Sattelpunkt 3) Für k>0 gilt k ist es ...? |
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| 16.10.2011, 17:41 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist leider nicht so ganz richtig, damit du die weiteren Aufgaben aber vernünftig machen kannst, schreib ich es dir nun mal korrekt auf: Für die Extremstelle x=wurzel(3/5k) 1) falls k<0 existiert keine Extremstelle da sonst ein negativer Radikand entsteht (mit undefiniertem k hat das nichts zu tun) 2) falls k=0 haben wir und der Graph zu dieser Funktion hat in x=0 einen Sattelpunkt. 3) falls k>0 gilt f''(x)>0 und damit liegt an der Stelle x=wurzel(3/5k) ein Tiefpunkt vor (k ist kein Tiefpunkt). Für die Nullstellen +-wurzel(k) 1) falls k<0 existiert keine weitere Nullstelle (also nur x=0) 2) falls k=0 siehe oben (also genau eine Nullstelle) 3) falls k>0 existieren genau drei Nullstellen, nämlich x=0, x=wurzel(k) und x=-wurzel(k) |
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| 16.10.2011, 17:51 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh mein Gott, dass ist ja alles Wahnsinn! Ich werde schon leicht verrückt. Aber gut. Nun da wir das geklärt haben, wollte ich nun den y-Wert ausrechnen, dafür setze ich Wurzel 3/5k in Ursprungsgleichung ein. Dann klammere ich aus und komme auf y=(Wurzel 3/5k)^3 - 2/5k und bekomme ich das noch vereinfachter hin? |
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| 16.10.2011, 17:59 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube du missverstehst den Begriff "ausklammern" etwas, denn der Faktor den man ausklammert, fällt nicht einfach weg. Wir haben: |
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| 16.10.2011, 18:05 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahhh ich verstehe durch das ^2 fiel die wurzel weg. Darauf wäre ich alleine leider nie gekommen. und beim ^4 blieb wenn man die wurzel wegkürzt nur noch ^2 übrig. Clever! |
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| 16.10.2011, 18:07 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hatte ich vermutet, aber darüber denke mal selbst noch ein wenig nach.
Das entsteht eben durchs ausklammern und vor allem durch |
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| 16.10.2011, 18:14 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So nun habe ich raus. Richtig? |
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| 16.10.2011, 18:19 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Empfehlung von mir: Übe dringend algebraische Termunformungen, sonst wird dir das bei den Scharen an vielen Stellen zum Verhängnis. Du hast hier glaube ich multipliziert, hier steht aber kein Produkt in der Klammer. |
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| 16.10.2011, 18:28 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja stimmt, ich habe multipliziert. Ich habes es jetzt berichtigt. Ich will nur noch diese Aufgabe lösen dann gebe ich auf. Hat wohl dann leider keinen Zweck mehr scheinbar ... Was mache ich nun mit dieser Wurzel und dem ^2, wie bekomme ich eins von beiden weg? |
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| 16.10.2011, 18:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würds so stehen lassen wir du es jetzt hast, viel mehr kann man da nicht mehr tun. 
Und meine Empfehlung sollte dich nicht demotivieren sondern dir klar machen, wobei es bei solchen Aufgabentypen drauf ankommt. 
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| 16.10.2011, 18:35 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh ich habe ihre Empfehlung/Kritik durchaus angenommen und wurde nicht dadurh demotiviert. Wirklich nicht! Es waren soviele Probleme die ich nur bei den Extrempkt. hatte, dass ich mich an den Wendenpunkte gar nicht rantraue. Ich bin ihnen zum tiefsten Dank verpflichtet und bewundere ihre Geduld. Viele Dank! |
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| 16.10.2011, 18:38 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir duzen uns hier im Forum eigentlich alle.
Ich bin jetzt erstmal ein paar Stunden weg, wenn du magst kannst du ja deine Ergebnisse zu den Wendepunkten mal posten, dann schau ich gerne nochmal drüber. Viel Erfolg weiterhin. 
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| 16.10.2011, 19:28 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Soo, nun hatte mich doch der Ehrgeiz gepackt und kam bei den Wendepunkten auf folgende Lösungen: W1 W2 Jaja, ich weiß hier kommt auch dies Fallunterscheidung hin ... Hab ich auch zu stehen im Heft
Verhalten im Unendlich (da bin ich mir richtig unsicher!): lim x-> + oo x^5 - kx^3 = 1) k<0, dann + oo 2) k=0, dann + oo 3) k>0, dann - oo lim x-> - oo x^5 - kx^3 = 1) k<0, dann - oo 2) k=0, dann - oo 3) k>0, dann - oo Ortskurve der Extrempunkte (komm ich leider nicht weiter) : x= Wurzel ( 3/5 k) Wie stelle ich nun nach k um? |
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| 16.10.2011, 20:43 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann ich leider alles nicht bestätigen. Die Wendepunkte können doch nicht dieselben x-Koordinaten wie die Extrempunkte haben. 
Beim Randverhalten ist hier auusnahmweise mal etwas nicht von k abhängig, da sich das Verhalten des Graphen nur nach dem von k unabhängigen x^5 richtet. Auch das Ausklammern von x^5 wäre hier möglich, um weitere Schlüsse zu ziehen. Bei der Ortskurve für die Extrema denke ans Quadrieren. |
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| 16.10.2011, 20:54 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, ich verzweifel langsam: Der komplette Recheneweg für die Wendepunkte. f"k(x) = 20x^3-6kx x ausklammern x(20x^2-6k) X1=0 umstellen nach x 20x^2 = 6k nun :20 x^2= 3/10 k WURZEL x2= Wurzel (3/10k) x3= - Wurzel (3/10k) Was ist hieran falsch? Ich sehe es beim besten Willen nicht. |
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| 16.10.2011, 20:59 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So und bei: lim x-> +oo x^5 - kx^3 = - oo lim x-> -oo x^5 - kx^3 = + oo Das jetzt wenigstens Richtig? |
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| 16.10.2011, 21:00 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Joa da hast du jetzt die richtigen potentiellen Wendestellen stehen, aber in deinem Beitrag vorhin stand immer noch was mit 3/5k etc. Wahrscheinlich hast du dich da nur verschrieben wenn man sich die y-Koordinaten anschaut. Allerdings sollten die y-Koordinaten der Wendepunkte bis auf das Vorzeichen gleich sein wegen der Symmetrie zum Ursprung. Und dann gibt es ja auch noch einen Wendepunkt in x=0, der da bisher noch nicht steht.
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| 16.10.2011, 21:06 | beni94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das mit x=0 ist ein Sattelpunkt den habe ich vergessen hier reinzuschreiben und damm mit dem 3/10 habe, ich Dussel, ich mich verschrieben. Ja und beim nachrechnen kam bei dem 2. y-Wert jetzt -Wurzel (3/10k) * 21/100k^2 raus. Richtig? Wie sieht es mit dem Verhalten im Unendlichen aus, über dir, ist das richtig? |
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