Banachraum und Hilbertraum Adjungierte |
| 16.10.2011, 13:08 | BluesSister | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Banachraum und Hilbertraum Adjungierte Hallo, ich hab noch kleine Versätnidprobleme bei der Adjungierten von Banachräumen und Hilberträumen: Zunächst zum Begriff der Adjungierten: Mir ist noch immer nicht ganz klar, was die Adjungierte mir bringt, soweit ich es aber richtig verstanden habe, ist doch die Adjungierte eine Abbildung, passend zu einer gegeben Abbildung, oder? Dann habe ich die Adjungierte definiert für beschränkte Operatoren und für unbeschränkte Operatoren, Meine Frage: Warum muss ich bei unbeschränkten Operatoren den Definitionsbereich eingrenzen? Meine Ideen: Ich glaube, wenn diese Frage mir klarer werden, dann kommt der Rest von allein. Danke für eure Antworten! |
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| 16.10.2011, 15:24 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Banachraum und Hilbertraum Adjungierte Naja, eigentlich wird die Adjungierte zunächst für stetige Operatoren in Hilberträumen definiert. Sei also ein Operator zwischen zwei Hilberträumen, dann ist die Adjungierte definiert als den (nach Riesz existenten und eindeutigen) Operator, für den gilt: für alle , wobei (.,.) das Innenprodukt (bzw. die Innenprodukte) bezeichnet. Das schöne an solchen Operatoren ist, dass dadurch gewisse Eigenschaften bewiesen werden können (siehe bspw. Satz von Hellinger-Toeplitz). Zudem kann man darüber das Prinzip der selbstadjungierten Operatoren definieren, für die es den Spektralsatz gibt. Kurzum: Zum Beispiel ist die Existenz einer Eigenvektorbasis ganz stark mit den Eigenschaften der Adjungierten verknüpft. In Banachräumen gehst du für stetige Operatoren ähnlich vor - da aber kein Innenprodukt existiert, wird dieses durch die duale Paarung ersetzt, d.h. die adjungierte Abbildung bildet zwischen den Dualräumen ab. Problematischer sind jetzt unbeschränkte Operatoren. Ganz genau habe ich mich mit unbeschränkten Operatoren nicht auseinandergesetzt, aber vllt. bekommen wir das trotzdem hin. Du fragst, warum du den Definitionsbereich eingrenzen musst. Schaue dir die Definition des adjungierten Operators an. Die Existenz und Eindeutigkeit (zumindest im Hilbertraum) folgt aus dem Rieszschen Darstellungssatz, der allerdings die Beschränktheit des Funktionals braucht (Ähnliches dürfte in Banachräumen der Satz von Hahn-Banach liefern). Wenn aber der adjunigerte Operator nicht immer existiert - dann muss man den Definitionsbereich wohl so einschränken, dass er existiert. Fazit: Schaue dir für beschränkte Operatoren einmal ganz genau die Existenzsätze für die Adjungierte an und überlege dir, wo das für unbeschränkte Operatoren nicht so einfach funktioniert. Gruß MI |
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