Lemma von Borel-Cantelli

02.01.2007, 17:50	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Lemma von Borel-Cantelli Es geht um das Lemma von Borel-Cantelli: Für ein Folge von Ereignissen $\begin{eqnarray} (A_n) \end{eqnarray}$ gilt: Falls $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} P(a_n) < \infty \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} P(\limsup A_n) = 0 \end{eqnarray}$ Zum Beweis: Wir setzen $\begin{eqnarray} B_n := \bigcup\limits_{k \geq n} A_k \end{eqnarray}$ . Dann fällt $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ monoton gegen den Limes Superior der A_n. Dann folgt mit der Stetigkeit von oben: $\begin{eqnarray} P(\limsup A_n) = \lim\limits_{n \to \infty} P(B_n) \leq \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k \geq n} P(A_n) = 0 \end{eqnarray}$ Nun meine Frage: Wieso gilt im letzten Schritt, das der Reihenwert 0 ist?
02.01.2007, 19:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer konvergenten Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray}$ muss der Reihenrest $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=n}^{\infty} a_k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ nun mal gegen Null konvergieren. Folgt direkt aus der Definition der Reihenkonvergenz.
03.01.2007, 16:04	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
danke Arthur.

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