Probleme mit vollständiger Induktion

16.10.2011, 14:20

pusteblume-88

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Probleme mit vollständiger Induktion

Hallo,

Ich habe totale Schwierigkeiten mit der Vollständigen Induktion. Ich hoffe, ihr könnt mir etwas unter die Arme greifen bei folgender Aufgabe, die ich mit vollständiger Induktion beweisen soll:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)} = 1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Der Induktionsanfang besteht ja darin, n=1 zu setzen. Das habe ich gemacht und da kam $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ heraus, was somit beweist, dass die Induktionsvoraussetzung richtig ist. Hoffe, soweit liege ich mit meinen Gedanken richtig?! =)

Nun begebe ich mich zum Induktionsschluss und setze n --> n+1

Dann steht da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i(i+1)} = 1-\frac{1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$ und die rechte Seite davon ist mein Ziel, wo ich am Ende hinkommen will.

Bloß da liegt nun auch das Problem: wie komme ich dahin? Soweit ich weiß, muss ich jetzt den Teil, den ich oben für n=1 bewiesen habe nehmen und einen Summanden noch dahinterhängen wegen der n+1

Dan stände da: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

und nun weiß ich nicht weiter. Ich habe es mit erweitern von (n+2) versucht, um alles auf einen Bruchstrich zu schreiben, aber das führt mich nicht zum Ziel. Welche tricks kann ich noch anwenden?

16.10.2011, 14:30

Gast11022013

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RE: Probleme mit vollständiger Induktion
Hallo!

Zunächstmal:

Erster Schritt ist die Induktionsverankerung (n=1). Diese stimmt, wie Du richtig gezeigt hast.

Die Induktionsvoraussetzung ist nun, daß die Behauptung für n gezeigt ist und nun musst Du zeigen, daß sie auch für n+1 gilt.

Dazu benutzt Du diee Induktionsvoraussetzung und ziehst die Summe auseinander:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}+\frac{1}{(n+1)\cdot ((n+1)+1)} \end{eqnarray*}$ .

Nun kannst Du die Induktionsvoraussetzung anwenden!

Edit:

Entschuldigung, ich war irgendwie nicht ganz aufmerksam. Du wolltest ja gar nicht wissen, wie Du anfängst. Du bist ja schon einen Schritt weiter, habe ich gar nicht gesehen. Hammer

Hammer

16.10.2011, 14:34

Wetal

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RE: Probleme mit vollständiger Induktion

Zitat:

Original von pusteblume-88
Dan stände da: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

und nun weiß ich nicht weiter. Ich habe es mit erweitern von (n+2) versucht, um alles auf einen Bruchstrich zu schreiben, aber das führt mich nicht zum Ziel. Welche tricks kann ich noch anwenden?

soweit so gut. du musst nicht unbedingt die rechte seite geschickt erweitern oder so. es reicht wenn du diese gleichung mit äquivalenten umformungen auf etwas wahres umformen kannst. d.h. du könntest z.b. damit anfangen auf beiden seiten die 1 wegzukürzen und eventuell auf beiden seiten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ aufaddieren. schau mal ob du damit weiter kommst.

ziel ist quasi eine wahre aussage. sowas wie $\begin{eqnarray*} a= a \end{eqnarray*}$ :P

16.10.2011, 14:36

pusteblume-88

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aber - doofe Frage - hat das jetzt was mit Indexverschiebung zu tun? also das, was Dennis geschrieben hat?

16.10.2011, 14:37

Wetal

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Zitat:

Original von pusteblume-88
aber - doofe Frage - hat das jetzt was mit Indexverschiebung zu tun?

hier wurde nirgends ein index verschoben smile

smile

Nein auch Dennis hat keine indexverschiebung gemacht.

16.10.2011, 14:47

pusteblume-88

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RE: Probleme mit vollständiger Induktion

Zitat:

Original von Wetal

soweit so gut. du musst nicht unbedingt die rechte seite geschickt erweitern oder so. es reicht wenn du diese gleichung mit äquivalenten umformungen auf etwas wahres umformen kannst. d.h. du könntest z.b. damit anfangen auf beiden seiten die 1 wegzukürzen und eventuell auf beiden seiten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ aufaddieren. schau mal ob du damit weiter kommst.

ziel ist quasi eine wahre aussage. sowas wie $\begin{eqnarray*} a= a \end{eqnarray*}$ :P

jah, ok...wir hatten letztens eine Aufgabe, in der wir geschickt erweitern mussten. Im nachhinein wars dann klar, aber ich komm da doch nie im leben selber drauf.

aufaddieren? darunter verstehe ich jetzt, dass ich auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} +\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ rechne. Ich frag mich nun, was mir das bringt....dann habe ich alle brüche gleichnahmig gemacht, aber es kommt nciht auf beiden Seiten das gleiche heraus....

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16.10.2011, 14:48

Wetal

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dann hast du was falsch gemacht. schreib mal genau was du rauskriegst. dann kann ich dir besser helfen.

16.10.2011, 15:01

pusteblume-88

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ich habe nun erstmal da stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

16.10.2011, 15:04

Wetal

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Zitat:

Original von pusteblume-88
ich habe nun erstmal da stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

ich weiß nicht wie du mit meinem tipps darauf gekommen bist. du hast angefangen mit

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

ich habe geraten auf beiden seiten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} -1 \end{eqnarray*}$ zu addieren.

16.10.2011, 15:06

pusteblume-88

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und daraus mache ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{(n+2)(n+1)}+\frac{n+2}{(n+2)(n+1)} = \frac{n+2}{(n+2)(n+1)}+\frac{1}{(n+2)(n+1)}+\frac{n+2}{(n+2)(n+1)} \end{eqnarray*}$

woraus sich ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{(n+2)(n+1)}=\frac{2n+5}{(n+2)(n+1)} \end{eqnarray*}$

und das stimmt ja wohl nicht

edit: ok, die 1- kann ich nciht einfach schlucken, stimmts? verwirrt

verwirrt

edit2: dann ist das ja volliger quatsch, den ich hier schreibe -.-

16.10.2011, 15:15

Wetal

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ja die VORzeichen stehen immer vorne :P

z.b. $\begin{eqnarray*} 1-a = 1-b+c \end{eqnarray*}$

hier die "1-" beseitigen macht erstmal wenig sinn ^^

man könnte die "1" beseiten oder "-a" oder "-b" oder "c"

16.10.2011, 15:23

pusteblume-88

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Zitat:

Original von Wetal
du hast angefangen mit

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+2}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

ich habe geraten auf beiden seiten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} -1 \end{eqnarray*}$ zu addieren.

nochmal von vorne, wenn ich das da stehen habe und aufaddiere, bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}-1=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

oder umsortiert: $\begin{eqnarray*} 1-1-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}=1-1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

dann fällt einiges weg: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

so, und nun?

16.10.2011, 15:27

Wetal

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das musst du nun auf eine wahre aussage führen. zeige also dass diese gleichung stimmt. ich kann dir nicht alles vorsagen ^^

16.10.2011, 15:36

pusteblume-88

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aber das stimmt doch nicht^^

zumindest seh ichs nicht....einmal steht zwischen den klammern ein plus und einmal ein mal....mhm, ich hab halt jetzt .......ahhhh, *lichtblitz*....jah :-)

ich habe nun die rechte Seite auseinandergezogen und erweitert: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+2}{(n+1)(n+2)}+\frac{n+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$ und das ist gleich der linken Seite....somit 1=1
mannoman, wenn ich immer solang dafür brauche sehe ich schwarz -.-

PS: wo sind die Summenzeichen geblieben? hab ich die nur geschludert? müssen die eigentlich immer davor?

edit: ich sehe grade, dass ich das Minus auf der linken Seite übersehen habe....da steht nun -1=1
das ist doch irgendwie doof...

16.10.2011, 16:01

Wetal

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du ahst offensichtlich falsch auseinandergezogen. ich würde einfach die linke seite erweitern. es ist immer einfacher zu erweitern als etwas auseinander zu ziehen...

versuche das mal auf gleichen nenner zu bringen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

16.10.2011, 16:05

pusteblume-88

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hmm, ok, dann passt es...stimmt

16.10.2011, 16:15

Wetal

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RE: Probleme mit vollständiger Induktion
du hast dich gewundert wo die summen geblieben sind? dann nehme ich an, dass die das prinzip der vollständigen induktion noch nicht ganz klar ist. dazu hat Dennis einen guten hinweis gegeben. du hast zunächst zu zeigen, dass diese gleichung für n=1 gilt. das hast du getan und ist richtig. nun musst du annehmen, dass diese gleichun für ein festes n gilt. nun betrachtest du den induktionsschritt n+1. nun ist zu zeigen, dass

Zitat:

Original von Dennis2010

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}+\frac{1}{(n+1)\cdot ((n+1)+1)}= 1- \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

dazu nutzst du die voraussetzung dass diese gleichung für die summe von 1 bis n gilt. den rest hast du dann gezeigt.

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