Aufgabe zu Vektoren / linearer Unabhängigkeit

16.10.2011, 16:14

Roonex

Aufgabe zu Vektoren / linearer Unabhängigkeit

Folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper mit unendlich vielen Elementen und $\begin{eqnarray*} n > 1 \end{eqnarray*}$ .
Zeige, es gibt eine unendliche Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von Vektoren in $\begin{eqnarray*} K^{n} \end{eqnarray*}$ , so dass je $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Vektoren in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Die Aufgabe klingt interessant, aber mit meinen Überlegungen komme ich nicht besonders weit, da man einen allgemeinen Körper betrachtet.

Ein Beispiel wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ und dazu die unendliche Menge von Vektoren $\begin{eqnarray*} M = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} ...\right\} \end{eqnarray*}$ .

Bin für Denkanstöße dankbar :-)

16.10.2011, 16:23

I4m

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RE: Aufgabe zu Vektoren / linearer Unabhängigkeit
Hi!

Beachte: 1=neutrales Element der Multiplikation.
K^2 laeuft dann analog zum R^2.

Viel Erfolg!

16.10.2011, 16:27

tmo

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Ich würde mir induktiv für jedes $\begin{eqnarray*} n \leq N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Mengen $\begin{eqnarray*} M_N \end{eqnarray*}$ mit der gewünschten Eigenschaft und $\begin{eqnarray*} |M_N|=N \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} M_N \subset M_{N+1} \end{eqnarray*}$ konstruieren.

$\begin{eqnarray*} M := \bigcup_{n \leq N \in \mathbb N} M_N \end{eqnarray*}$ tut's dann.

PS: Bei der Konstruktion stößt man schließlich auf das Problem zu zeigen, dass die Vereinigung endlich vieler Hyperebenen nicht der ganze Raum sein kann. Da geht dann natürlich entscheidend die Unendlichkeit des Körpers ein.

Zitat:

Original von I4m
Beachte: 1=neutrales Element der Multiplikation.
K^2 laeuft dann analog zum R^2.

Bei einem unendlichen Körper endlicher Charakterisitk funktioniert das Analogon nicht mehr exakt so wie in diesem Beispiel, da die Menge gar nicht unendlich wäre.

16.10.2011, 17:17

Roonex

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Die Konstruktion kann ich nicht zufriedenstellend nachvollziehen, sorry traurig

Also den Schritt bei dem man der Menge einen Vektor hinzufügt, die Menge aber trotzdem die benötigte Eigenschaft hat.

Versuche im Moment die Aussage direkt über Induktion zu zeigen.
Induktionsanfang mit n=2 geht, aber den Induktionsschritt bekomme ich nicht hin... falls man es überhaupt diese Art lösen kann.

16.10.2011, 17:38

tmo

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Ich habe eine Induktion über N (bei festem n, also mit Induktionsanfang N=n) vorgeschlagen, nicht über n.

Mache dir am besten erst mal klar, warum diese Konstruktion denn das Problem erschlagen würde.

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