Man bestimme alle reellen Zahlen, die folgende Ungleichung erfüllen: |
16.10.2011, 16:51 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man bestimme alle reellen Zahlen, die folgende Ungleichung erfüllen: Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Man bestimme alle reellen Zahlen, die folgende Ungleichung erfüllen: | 1 + x | > oder = 4 Meine Ideen: Da ich nicht wirklich weiß, wie ich anfangen soll, kann ich hier leider nicht wirklich viele Ansätze preisgeben. Google befragt, bin aber immer noch nicht klüger. |
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16.10.2011, 17:11 | Pfirsichtee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was kannst du denn bei einer Aufgabe mit Betrag machen? Was bietet sich an, um den Betrag sinnvol auflösen zu können? |
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16.10.2011, 17:17 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Man bestimme alle reellen Zahlen, die folgende Ungleichung erfüllen: Ich habe jetzt versucht den Betrag aufzulösen indem ich das quadrat nehme und bin dann auf x > oder = die wurzel von 3 |
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16.10.2011, 17:20 | Pfirsichtee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stichwort : Fallunterscheidung. Sollte dir das absolut kein Begriff sein, dann schau hier einfach mal im Analysis Forum , egal ob Unter oder Hochschule ein wenig rum. Da gibt es viele Aufgaben zum Thema Betrag auflösen mit Fallunterscheidung. |
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16.10.2011, 17:33 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm habe zwar ein paar themen gefunden, aber nichts gefunden, wie man das genau auflöst |
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16.10.2011, 17:51 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe das jetzt mal nach Fallunterscheidung gemacht. Hoffe das ist richtig. Fall 1: x + 1 >= 4 daraus folgt -> x >= 3 Fall 2: (-1)*(x+1) >= 4 -x-1 >= 4 -x >= 5 x >= -5 Ergebnis: L = (-5 ; 3) Stimmt dat ? |
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16.10.2011, 18:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Folglich ist folgendermaßen zu übersetzen: Gesucht sind alle reellen Zahlen , die von einen Abstand besitzen, der mindestens ist. Für das konkrete Beispiel beachte: . Paßt nun deine Lösung? |
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16.10.2011, 18:32 | Pfirsichtee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja nicht ganz. Ich mache dir das ganze mal an einer anderen Aufgabe vor und du versuchst das Prinzip auf deine Aufgabe zu übertragen. Sei also nun : Was müssen wir nun machen? Richtig, wir müssen schauen, wann der Betrag größer oder gleich 0 ist und wann er negativ wird. Also müssen wir betrachten, für welche x gilt : Das ist also unser erster Fall : x < 2. Nun wissen wir wann der Betrag negativ wird. Betrachten wir also noch, wann der Betrag positiv wird. Also : Das ist also der zweite Fall den wir betrachten. Nun fängt also unsere Fallunterscheidung an. 1. Fall : x < 2 In diesem Fall wird der Term im Betrag negativ. Also machen wir den Term auch negativ beim Auflösen : Und nun bist du dran Edit : Ich habe ausversehen einen kleinen Fehler eingebaut, den ich jetzt noch berichtigt habe. Ich hoffe du hattest nicht schon angefangen. |
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16.10.2011, 18:49 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bekomme immer -5 und 3 rauß .... | 1 + x | >= 4 Fall 1: x > 1 -1-x >= 4 | +1 -x >= 5 | -1) x >= -5 Fall 2: x <= 1 1+x >= 4 |-1 x >= 3 oh mann ... |
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16.10.2011, 18:54 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ja, sehr aussagekräftig scheint mir dieses Beispiel nicht zu sein. Denn
Es geht nicht darum, ob der Betrag positiv oder negativ ist (ein Betrag ist ja niemals negativ), sondern ob die Zahl, von der der Betrag berechnet wird, positiv ist oder nicht. Das ist zwar länger in der Formulierung als bei dir, dafür aber richtig. |
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16.10.2011, 18:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist die falsche Fallunterscheidung. |
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16.10.2011, 19:02 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und woher weiß ich welche richtig ist? |
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16.10.2011, 19:08 | Pfirsichtee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Indem du die Ungleichungen 1 + x < 0 und 1 + x >= 0 löst. Lies nochmal ganz genau was ich geschrieben habe, wie man überhaupt darauf kommt, welche Fälle zu betrachten sind. Natürlich mit Leopolds Einwand im Hintergedanken. ^^ |
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16.10.2011, 19:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du mußt du das, was in den Betragsstrichen steht, größergleich oder kleiner als Null setzen. Dann kommst du von alleine auf die richtige "Grenzzahl". (Ich habe dir übrigens in meinem ersten Beitrag eine andere Methode vorgestellt, wie du ganz ohne Rechnung zur Lösung der Aufgabe kommst.) |
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16.10.2011, 19:25 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist es nicht egal ob ich | 1 + x | habe oder | x - (-1) | |
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16.10.2011, 19:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Worauf soll diese Frage zielen? |
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16.10.2011, 19:33 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ich nicht verstehe, zu was diese Umformung führen soll. Bzw. wie ich da ein Ergebnis bekomme. |
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16.10.2011, 19:35 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah so! Meine Umformung bezog sich auf meinen alternativen Lösungsvorschlag, der ganz ohne Fallunterscheidung funktioniert und direkt die Lösung anzeigt. Jetzt solltest du dich entscheiden, welchen Ansatz du weiterverfolgen willst, sonst gibt das ein Durcheinander. |
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16.10.2011, 19:38 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lieber den bisherigen. Bin schon genug verwirrt Habe jetzt als Fälle folgendes: Fall 1: x <= -1 Fall 2: x >= -1 Lösungsmenge (-5;3) Grenzen: (-unendlich;-1[-1;unendlich) |
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16.10.2011, 19:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Lösungsmenge stimmt nicht. 1. Fall: Dann geht die Umformung so: Die ganze Umformung steht aber unter der Generalannahme des ersten Falls. Ich formuliere das einmal ausführlich: Unter allen Zahlen, die kleiner als -1 sind, sind es genau diejenigen, die kleiner oder gleich -5 sind, die die Ungleichung erfüllen. Welche Zahlen sind das somit? Und wie geht der zweite Fall? |
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16.10.2011, 19:51 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab doch selbst auch -5 rauß und der 2. Fall wird dann das Ergebnis 3 |
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16.10.2011, 19:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es steht da aber nicht , sondern . Und das ist ein GEWALTIGER Unterschied. |
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16.10.2011, 19:58 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja ich habe ja auch ausgerechnet x <= -5 und in Fall 2 x >= 3 rauß, aber die Lösungsmenge schreibt man doch als (-5 ; 3) oder muss ich da auch (<= -5 ; >= 3) schreiben ???? |
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16.10.2011, 20:01 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zwischen dem ersten und dem zweiten Fall steht ein logisches ODER (Vereinigungsmenge). Zwischen der Einteilung des Falls und der Lösung im entsprechenden Fall steht ein logisches UND (Schnittmenge). Das ist der Kern der Sache. Und da liegt dein Fehler. Jetzt sage erst einmal nur: Was ist die Lösungsmenge im ersten Fall? Dann sage: Was ist die Lösungsmenge im zweiten Fall? Dann vereinige die beiden Lösungsmengen.
Das geht in die richtige Richtung. Es ist nur formal nicht richtig aufgeschrieben. |
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16.10.2011, 20:06 | mathelow | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
L1 = ( -1 ; -5 ) L2 = ( 3 ; -1 ) L1+L2 = L = ( 3 ; -5 ) Richtig so? |
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16.10.2011, 20:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, nicht richtig. Generalbedingung im ersten Fall: Ungleichung im ersten Fall: Jetzt mußt du schneiden: Welche Zahlen sind es denn, die beide Bedingungen zugleich erfüllen? Und so bekommst du das Lösungsintervall im ersten Fall. |
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