Extremwertaufgabe (Zylinder in Kegel)

16.10.2011, 17:32

Gast11022013

Extremwertaufgabe (Zylinder in Kegel)

Meine Frage:
Ein Zelt hat die Form eines senkrechten Kreiskegels mit Radius 6m und Höhe 10m. Unter das Zelt soll ein Fass in Form eines senkrechten Kreiszylinders gestellt werden. Stellen Sie das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit von der Zylinderhöhe h dar und geben Sie die Definitionsmenge der Funktion
V:h => V(h) an.
Weisen Sie nach, dass die Volumenmaßzahl V(h) für $\begin{eqnarray*} h_{1}=\frac{10}{3} \end{eqnarray*}$ ihren absolut größten Wert annimmt.
Zeigen Sie außerdem, dass in diesem Fall die Längenmaßzahl von Radius $\begin{eqnarray*} r_{1} \end{eqnarray*}$ und höhe $\begin{eqnarray*} h_{1} \end{eqnarray*}$ des Zylinders im Verhältnis 6:5 stehen.

Meine Ideen:
Als 1. habe ich in mir die Zeichnung in einem Koordinatensystem gedacht und folgende Punkte bestimmt:

A(0/10) B(6/0)

Dann habe ich daraus die Steigung und Tangente berechnet.

$\begin{eqnarray*} y=-1\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mir gedacht das das Volumen dann am größten seien sollte, wenn das Rechteck aus h*r am größten ist.
Zur Vereinfachung hab ich h=x y=r genommen.

Dann habe ich die Tangenten gleichung eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} x*(-1\frac{2}{3}x+10)<br /> <br /> =-1\frac{2}{3}x^2+10x \end{eqnarray*}$

Davon die erste Ableitung ist:

$\begin{eqnarray*} -3\frac{2}{3}x+10 \end{eqnarray*}$

setze ich das gleich 0 erhalte ich für x=3
und y=5

Ist das so richtig oder bereits falsch??

Danke im Vorraus.

Edit: Man muss natürlich die Volumensformel vom Kegel nehmen und dies mit der Steigung machen.

Ich erhalte als Zielfunktion:

$\begin{eqnarray*} \pi*(\frac{25}{9}x^{3} -33\frac{1}{3}x^{2}+100x) \end{eqnarray*}$

1 Ableitung =0 ergibt

x1=6,45
x2=1,55

Diese Werte muss ich dann noch überprüfen wo das Maximum erreicht wird.

Also x1 ist ja sowieso nicht mehr im Definitionsbereich.

16.10.2011, 18:46

Gast11022013

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niemand hier der mir helfen möchte??

16.10.2011, 19:14

Gast11022013

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ich wäre für eine Bestätigung, Lösungsansatz oder Korrektur überaus dankbar.

16.10.2011, 19:39

Gast11022013

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Also ich hab jetzt x1=6
und x2=2 raus
und komme damit auf eine höhe von 6,666666667

nur wie komme ich auf die 10/3