Integralaufgabe mit Parameter

16.10.2011, 18:29

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralaufgabe mit Parameter

Guten Abend liebe Gemeinde,

ich habe folgende Aufgabe:
Gegeben ist für $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R_{+}^{*} \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f_{t} (x)=(x+3)x(x-t) \end{eqnarray*}$ . Bestimmen sie t so, dass der Inhalt der Fläche zwischen Graph und x-Achse unterhalb der x-Achse "gleich groß" ("doppelt so groß") wie der entsprechende Inhalt oberhalb der x-Achse ist.

Ich behandel nun die Aufgabenstellung "gleich groß" und habe mir folgende Bedingung gesetzt:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Denn ist das Integral 0 heißt es, dass beide Flächen (ober- und unterhalb der x-Achse) gleich groß sind.

Nächster Schritt wäre einfach mal für das t ein paar Zahlen einzugeben wie t=1 oder t=2. Nun sehen wir das die untere Grenze a konstant ist. und zwar a=-3. Zusätzlich verschiebt sich obere Grenze immer um eine Einheit, d.h. b ist abhängig von t: b=t.

Nun bilden wir die Stammfunktion. Durch Ausklammern, ausmultiplizieren und aufleiten bekomme ich die Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4} x^4+\frac{2}{3} tx^3-\frac{3}{2} tx^2 \end{eqnarray*}$

So nun heißt es ja:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{4} t^4+\frac{2}{3} t*t^3-\frac{3}{2} t*t^2)-(\frac{1}{4} (-3)^4+\frac{2}{3} t*(-3)^3-\frac{3}{2} t*(-3)^2 \end{eqnarray*}$

Obere Grenze minus die untere Grenze. So ist das Integral doch definiert? Und genau an diesem Punkt hänge ich. Zusammengefasst steht bei mir jetzt:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{4} t^4+\frac{2}{3} t*t^3-\frac{3}{2} t*t^2)-(\frac{1}{4} (-3)^4+\frac{2}{3} t*(-3)^3-\frac{3}{2} t*(-3)^2 \end{eqnarray*}$

Und nun weiß ich nicht mehr weiter. Entweder steh ich auf'm Schlauch oder ich hab einen Fehler gemacht. Ehrlich gesagt ich hab null Plan.

Wäre toll wenn mir jemand weiterhilft.

MfG Pitfrog

16.10.2011, 18:40

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stammfunktion enthält einen Fehler.Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac 14 x^4+\frac {3-t}3x^3-\frac32tx² \end{eqnarray*}$

Ohne die Aufgabe jetzt nachgerechnet zu haben denke ich, dass es leichter ist zunächst den linken Teil der Fläche zu berechnen. Die Nullstellen kennst Du ja schon. Dieser muss dem rechten Teil entsprechen, welcher von t abhängt.

16.10.2011, 18:51

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
Die Stammfunktion enthält einen Fehler.Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac 14 x^4+\frac {3-t}3x^3-\frac32tx² \end{eqnarray*}$

Wie kommst du dadrauf? Wenn ich $\begin{eqnarray*} 2tx^2 \end{eqnarray*}$ aufleite komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} tx^3 \end{eqnarray*}$ , denn das t vernachlässigt man oder nicht wenn nicht warum ändert sich dann bei $\begin{eqnarray*} 3tx \end{eqnarray*}$ nichts?

Sorry ich muss das nachfragen smile

smile

16.10.2011, 18:57

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du den Funktionsterm ausmultiplizierst, kommt heraus

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x²+3x)(x-t)=x³+3x²-tx²-3tx=x³+(3-t)x²-3tx \end{eqnarray*}$

Integration liefert dann die von mir angebene Stammfunktion.

16.10.2011, 19:59

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das x zwischen den beiden Klammern vergessen.

P.S.:
$\begin{eqnarray*} (x+3) *x* (x-t) \end{eqnarray*}$

Damit man es besser sieht.

16.10.2011, 20:36

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

(x+3)x=x²+3x
Wo soll ich da etwas vergessen haben ?

Anzeige

16.10.2011, 20:47

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, habe ich ganz übersehen Gott

Gott

17.10.2011, 17:07

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

So um den linken Teil zu berechnen nehm ich als untere Grenze -3 und als obere Grenze den Ursprung.

Dann steht folgendes da:
$\begin{eqnarray*} -(\frac{1}{4} (-3)^4+\frac{3-t}{3}(-3)^3-\frac{3}{2} t(-3)^2 ) \end{eqnarray*}$

Es heißt ja obere Grenze minus untere. Die obere Grenze schreib ich nun gar nicht mehr hin, da sie eh null ist. Trotzdem komm ich nun nicht weiter.

Zusammengefasst steht nun bei mir:
$\begin{eqnarray*} -20,25 + 40,5t \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Setze ich nun für t 3 ein bekomme ich 101,25. Das ist aber falsch mein GTR rechnet mir für das Integral t=3 den Flächeninhalt 20,25 aus. Was stimmt nun an meiner Rechnung nicht?

Desweiteren noch eine Frage auch wenn du sagst, dass es leichter ist den Flächeninhalt von links zu bestimmen. Wie kann ich dann sagen t muss 3 sein damit beide Flächen gleich groß sind? Ich muss ja das t exakt bestimmen.

Ich hab irgendwie keinen Anhaltspunkt mehr was ich machen soll, wie ich weiterrechnen soll?!

MfG Pit

17.10.2011, 18:11

Packo

Auf diesen Beitrag antworten »

Pitfrog,
rechne nicht den linken Teil sondern setze das Integral in den Grenzen -3 und t gleich null!
Daraus bestimme t.

17.10.2011, 19:40

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das weiß ich auch schon. Das Problem ist, dass dann soetwas da steht

F(b)-F(a):
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{4} t^4+\frac{3-t}{3} t^3-\frac{3}{2} t*t^2)-(\frac{1}{4} (-3)^4+\frac{3-t}{3} (-3)^3-\frac{3}{2} t*(-3)^2) \end{eqnarray*}$

Die Idee, die hinter der Aufgabe steckt ist relativ simpel bloß dieses stupide Rechnen bekomme ich nun nicht mehr hin. Denn ich weiß nicht was ich jetzt machen soll? unglücklich

unglücklich

Die zwei Terme muss ich ja voneinander subtrahieren. Aber wie? Zusammenfassen kann ich ja noch machen aber mehr nicht.

Ich würde gerne die Schritte auf meinem Taschenrechner sehen traurig

traurig

17.10.2011, 21:23

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac 14 x^4+\frac {3-t}3x^3-\frac32tx² \end{eqnarray*}$

Es ist
$\begin{eqnarray*} F(-3)=\frac{81}4-(3-t)\cdot 9-\frac 32\cdot 9t=\frac{81}4-27+9t-\frac {27}2t =-\frac{27}4-\frac 92 t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(t)=\frac 14 t^4+\frac{3-t}3 t^3-\frac 32 t^3 \end{eqnarray*}$

Also ist
$\begin{eqnarray*} F(0)-F(-3)=\frac{27}4+\frac 92 t \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} F(t)-F(0)=\frac 14 t^4+\frac{3-t}3 t^3-\frac 32 t^3 \end{eqnarray*}$

Gleichsetzen der beiden Flächen ergibt nach Zusammenfassung und Umformung

$\begin{eqnarray*} t^4+6t^3-54t-81=0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist zu lösen.

17.10.2011, 21:32

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

*Fehleintrag, kann gelöscht werden*

17.10.2011, 21:54

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut :/ und wie löse ich quartische Gleichungen nochmal? Polynomdivision?

18.10.2011, 16:44

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe die Aufgabe nun gelöst smile

smile

Muss mir ja sowieso nur die Nullstellen >0 anschauen und da kommt dann auch t=3 raus. Die andere frage ist wie berechne ich dass wenn der Flächeninhalt unterhalb der x-Achse doppelt so groß sein soll. Hat da jemand einen Tipp für mich. Aber bitte nur ein Tipp smile

smile

18.10.2011, 18:26

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem letzten Posting findest Du die beiden Flächen. Die eine davon muss doppelt so groß sein, wie die andere. Das führt auf eine Gleichung.

18.10.2011, 19:53

Pitfrog

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
In meinem letzten Posting findest Du die beiden Flächen. Die eine davon muss doppelt so groß sein, wie die andere. Das führt auf eine Gleichung.

Also
$\begin{eqnarray*} 2*F(t)-F(-3) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das so mache, bekomme ich für t= ca. 4,56. Wenn ich mir das auf dem GTR anschaue passt das aber nicht so ganz. Ich vermute eher das t=4 sein muss, denn dann sieht es relativ so aus das die Fläche unterhalb der x-Achse doppelt so groß sei wie die überhalb. Kann auch sein ich täusche mich ...

18.10.2011, 22:24

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} F(t)=2F(-3) \end{eqnarray*}$ anzusetzen, da die Funktion auf $\begin{eqnarray*} \left[0;t\right] \end{eqnarray*}$ unterhalb der x-Achse verläuft.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »