Beweis durch Widerspruch: Rationale und irrationale Zahlen

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arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Widerspruch: Rationale und irrationale Zahlen
Meine Frage:
Hallo Freunde der Mathematik,

Ich habe ein kleines Verständnisproblem:
Es seien a eine irrationale Zahl und b eine rationale Zahl
Zu zeigen ist:

a)a+b ist irrational

b) a*b ist irrational, falls b ungleich 0

c) Es gibt eine Gerade der Form y=ax+b. Dann gibt es nur einen Punkt auf der Geraden, der rationale Koordinaten hat, nämlich (0,b)

Der Beweis soll durch Widerspruch erfolgen!!!

Ich habe so etwas noch nie zuvor gemacht und habe daher keine Ahnung, wie ich an diese Sache herangehen soll.
Ich bitte um Hilfe.

Meine Ideen:
Meine Idee für a) und b) ist, dass a schon mal nicht durch p/q dargestellt werden kann. b, als rationale Zahl, kann durch p/q erzeugt werden, wobei p und q ganze teilerfremde Zahlen sind.

somit ist die Gleichung: a+b= p/q + p'/q' ein Widerspruch, da a nicht als p/q ausgedrückzt werden kann.

Dies ist allerdings noch kein Beweis. Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll!!!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist schon mal richtig: Nimm an, a+b wäre rational, also .
Was folgt daraus für a? a=...
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

a müsste auch rational sein.

aber wie beweise ich, dass eine summe aus rationaler und irrationaler zahl irrational ist.

ist es ein axion, dass die summe rationaler zahlen ebenfalls rational ist?
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

ok.... das ergibt sinn...

a wäre also die differenz zweier rationaler zahlen!
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

wie gehe ich bei c) vor??
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von arcussinus
a wäre also die differenz zweier rationaler zahlen!


Und damit ebenfalls rational, genau Freude

Bei c) würde ich a) und b) nutzen.
 
 
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

also ist es ein axiom, dass die summe bzw. differenz zweier rationaler zahlen immer rational sein muss?

wunderbar...ist mir eine große Hilfe! dankeschön!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein Körper, insbesondere gegen die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division abgeschlossen. Mehr braucht man nicht zur Lösung der Aufgabe ...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein Axiom, sondern eine Eigenschaft.
Wenn Du zwei Brüche addierst, dann ergibt sich definitionsgemäss wieder ein Bruch. Ebenso bei der Differenz.
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

ich bedanke mich recht herzlich!
=)
arcussinus Auf diesen Beitrag antworten »

erneut ein frage zu c)

ist da also meine Annahme, dass es mehrere Punkte gibt, die rationale Koordinaten aufweisen?
chris1703 Auf diesen Beitrag antworten »

wir sind gerade bei der selben Aufgabe angelangt (schöne Grüße aus HD übrigens Big Laugh ) und beschäftigen uns mit der Aufgabe c).

Wir sind jetzt auf das Problem gestoßen, dass das x in "y=ax+b" nicht definiert ist. Ist x eine irrationale, eine rationale oder eine reelle Zahl?

Da x nicht definiert ist, sind wir zu erst davon ausgegangen, dass es eine reelle Zahl ist (also sowohl b als auch a), allerdings ist das Unsinn, weil eine irrationale Zahl mit einer irrationalen Zahl multiliziert durchaus eine rationale Zahl ergeben kann (sqrt(2)*sqrt(2)=2).

Wenn x als rationale Zahl definiert wäre, dann wäre die Aufgabe einfach zu lösen. Kann uns jemand bei der Interpretation helfen?

Gruß und Danke,
Chris
chris1703 Auf diesen Beitrag antworten »

hat sich erledigt, ist logischer als man denkt Big Laugh
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