Vektoren zu einer linearen Funktion angeben

16.10.2011, 21:02

Pfirsichtee

Vektoren zu einer linearen Funktion angeben

Nabend , ich arbeite gerade an folgender Aufgabe :

Wir betrachten die folgenden Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Geben Sie alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an für die eine lineare Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^3 -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v_i) = a_i \end{eqnarray*}$ existiert. Begründen Sie ihre Antwort!

Also ich soll alle solche Vektoren finden mit

$\begin{eqnarray*} f ( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ) = a_1 , f ( \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} ) = a_2 , f ( \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} ) = a_3 \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe als solche verstehe ich. Und irgendwie riecht dsas ganze für mich stark nach einem Gleichungssystem. Aber ich komme momentan noch nicht so ganz drauf, wie dieses Gleichungssystem zu erstellen ist. Oder ist es etwa so einfach wie ich es mir denke und es lautet

$\begin{eqnarray*} 1 x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 = a_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 x_1 + 5 x_2 + 6 x_3 = a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 x_1 + 8 x_2 + 9 x_3 = a_3 \end{eqnarray*}$

Naja das stimmt bestimmt nicht, denn ich soll ja alle möglichen a´s finden und nicht irgendwelche xé Big Laugh

Wäre über einen kleinen Gedankenanstoß dankbar. ^^

17.10.2011, 07:07

system-agent

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Das ist schon gut so. Du musst nun alle $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ finden so, dass das Gleichungssystem lösbar ist.

Wieso? Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ kannst du durch eine 1x3-Matrix $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ beschreiben. Dann bedeutet zb die erste Forderung $\begin{eqnarray*} f(v_1)=a_1 \end{eqnarray*}$ gerade
$\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3)\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=a_1 \end{eqnarray*}$ .

Da alle drei Bedingungen simultan erfüllt sein müssen, kriegst du auch drei Gleichungen.

17.10.2011, 09:10

Pfirsichtee

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Ja als ich heute morgen im bett lag war mir das auf einmal eingefallen. Big Laugh

Kann es sein, dass es keine solche Vektoren gibt oder rechne ich hier was falsch? Es gibt auf jedenfall keine eindeutige Lösung, deshalb wollte ich Lösungen angeben indem ich x1 und x2 irgendwie als X3 darstelle. Allerdings komme ich bei 1 immer dazu, dass es nach einer Gleichung 0 sein muss und in der anderen kann ich dann doch eine Darstellung finden. Naja einen Vektor gibt es natürlich: den nullvektor.

ps: ich meinte natürlich a1 und 2 mit A3 darstellen.

18.10.2011, 15:08

system-agent

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Zitat:

Original von Pfirsichtee
Kann es sein, dass es keine solche Vektoren gibt oder rechne ich hier was falsch?

Keine Ahnung, ich sehe nicht was du machst.

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