Bogenlänge

17.10.2011, 09:50

moonsymmetry

Bogenlänge

Hallo,

Es ist die Bogenlänge der Kurve $\begin{eqnarray*} c(t) = (\cos^2 (t), \sin^2 (t)), 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gesucht.

Nach ein bisschen Stöbern in meinem Mathebuch habe ich gelesen dass die Bogenlänge quasi der Grenzwert der Summe der Polygonzüge dieser Kurve ist. wobei die Feinheit gegen 0 konvergiert.

das entspricht dem Integral:

$\begin{eqnarray*} L = \int^b_a \sqrt{c'_1(t)^2 + ... + c'_n(t)^2} dt \end{eqnarray*}$

zur Lösung der Aufgabe würde ich also mal zunächst die Komponenten der Kurve ableiten:

$\begin{eqnarray*} c'_1(t) = -2 sin \, t \, cos \, t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c'_2(t) = 2 sin \, t \, cos \, t \end{eqnarray*}$

somit kann ich die Bogenlänge so berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{(-2 sin \, t \, cos \, t)^2 + (2 sin \, t \, cos \, t)^2} \end{eqnarray*}$

ist das richtig so? verwirrt

wenn ja bräuchte ich Hilfe beim Lösen dieses Integrals.... :/

lg

17.10.2011, 09:57

Mulder

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RE: Bogenlänge

Zitat:

Original von moonsymmetry
wenn ja bräuchte ich Hilfe beim Lösen dieses Integrals....

Vereinfache doch erstmal. Ich könnte mir vorstellen, dass du danach gar keine Hlfe mehr benötigst.

17.10.2011, 10:14

moonsymmetry

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RE: Bogenlänge

Zitat:

Original von Mulder
Vereinfache doch erstmal. .

genau daran scheitert es ja glaube ich... unglücklich

die quadrate heben sich ja durch die wurzel leider nicht auf....
bitte einen tipp Forum Kloppe

17.10.2011, 10:18

Mulder

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RE: Bogenlänge
Wieso heben die sich nicht auf?

$\begin{eqnarray*} (-2\sin(t)\cos(t))^2+(2\sin(t)\cos(t))^2 = 4\sin^2(t)\cos^2(t)+4\sin^2(t)\cos^2(t) = 8 \sin^2(t)\cos^2(t) = ... \end{eqnarray*}$

17.10.2011, 10:29

moonsymmetry

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RE: Bogenlänge
ja ber wieso fällt die wurzel da einfach weg?
oder hast du die nur mal absichtlich weggelassen?

17.10.2011, 10:32

Mulder

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RE: Bogenlänge
Heute noch keinen Kaffee gehabt? Augenzwinkern

Es ging doch jetzt erst mal nur darum, den Ausdruck unter der Wurzel zu vereinfachen. Daher habe ich Wurzel aus Faulheit nicht mitgeschrieben. Meinetwegen also so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ (-2\sin(t)\cos(t))^2+(2\sin(t)\cos(t))^2 }= \sqrt{4\sin^2(t)\cos^2(t)+4\sin^2(t)\cos^2(t) }= \sqrt{8 \sin^2(t)\cos^2(t) }= ... \end{eqnarray*}$

17.10.2011, 10:47

moonsymmetry

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RE: Bogenlänge
jap ich bin mehr als verwirrt :P

und nur zur sicherheit: dieses $\begin{eqnarray*} sin^2(x) \end{eqnarray*}$ ist eh exakt das selbe wie $\begin{eqnarray*} (sin x)^2 \end{eqnarray*}$ ?

okay dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{8 sin^2(t) cos^2(t)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt 8 \sqrt{ sin^2(t)} \sqrt{ (cos^2(t)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt 8 sin(t) cos(t) \end{eqnarray*}$

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