Trigonometrische Gleichung

17.10.2011, 12:19

Roli78

Trigonometrische Gleichung

Hallo Zusammen

kann mir jemand den Ansatz dieser Aufgabe zeigen?

Folgende trigonometrische Gleichung:

cos2phi=cos5phi

Gesucht: alle Winkel im Intervall zwischen 0° und 360°

Danke für Eure Hilfe:-)

17.10.2011, 12:49

riwe

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RE: Trigonometrische Gleichung
$\begin{eqnarray*} cos3\phi=cos5\phi \end{eqnarray*}$ wäre netter Augenzwinkern

daher meine frage: stimmt deine angabe verwirrt

edit: ist eigentlich egal Augenzwinkern

17.10.2011, 14:00

mYthos

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Noch netter wäre die Umformung (--> 2. Additionstheorem) zu

EDIT: Fehler in Formel berichtigt.

$\begin{eqnarray*} \cos 5x - \cos 3x = -2 \cdot \sin 4x \cdot \sin x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Die anschließende Auflösung ist mittels des Null-Produktsatzes ganz einfach.

mY+

17.10.2011, 14:05

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
Noch netter wäre die Umformung (--> 2. Additionstheorem) zu

$\begin{eqnarray*} \cos 5x - \cos 3x = 2 \cdot \cos 4x \cdot \cos x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Die anschließende Auflösung ist mittels des Null-Produktsatzes ganz einfach.

mY+

wie ich schon oben geschrieben habe.

der weg bleibt derselbe Augenzwinkern

17.10.2011, 14:11

mYthos

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Du hast eventuell die Richtigkeit der Angabe bezweifelt.
Deshalb mein Lösungsvorschlag ...

mY+

17.10.2011, 14:57

riwe

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RE: Trigonometrische Gleichung

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} cos3\phi=cos5\phi \end{eqnarray*}$ wäre netter Augenzwinkern

edit: ist eigentlich egal Augenzwinkern

wie du meinst unglücklich

17.10.2011, 18:01

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \cos u = \cos v \ \ \Leftrightarrow \ \ u \equiv v \pmod{2 \pi} \ \ \vee \ \ u \equiv -v \pmod{2 \pi} \end{eqnarray*}$

Oder mit anderen Worten:

$\begin{eqnarray*} \cos u = \cos v \ \ \Leftrightarrow \ \ u-v \in \{ \ldots , -4 \pi , -2 \pi , 0 , 2 \pi , 4 \pi , \ldots \} \ \ \vee \ \ u+v \in \{ \ldots , -4 \pi , -2 \pi , 0 , 2 \pi , 4 \pi , \ldots \} \end{eqnarray*}$

17.10.2011, 19:01

riwe

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sehr elegant Gott

17.10.2011, 19:43

René Gruber

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Der Weg über Additionstheoreme führt übrigens über

$\begin{eqnarray*} \cos(5x)-\cos(2x) = \cos\left( \frac{7+3}{2} x \right) - \cos\left( \frac{7-3}{2} x \right) = -2 \sin\left( \frac{7}{2} x \right) \sin\left( \frac{3}{2} x \right) \end{eqnarray*}$ .

18.10.2011, 01:56

mYthos

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Beim 2. Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x+y} 2 \sin \frac{x-y} 2 \end{eqnarray*}$

hatte ich leider die Differenz übersehen, daher war die Formel für die Summe nicht zutreffend.

@werner
Und auch, dass in der Angabe ursprünglich 2x gestanden hat, sorry, jetzt verstehe ich deinen Post erst.

mY+

18.10.2011, 11:18

riwe

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nix schlimmeres soll passieren Augenzwinkern

(darum habe ich auch geschrieben:
"edit: ist eigentlich egal
der weg bleibt derselbe")

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