Gaußscher Integralsatz

17.10.2011, 13:48

Stevö

Gaußscher Integralsatz

Hallo,

ich soll mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes die Oberfläche eines Balls mit Radius r berechnen.

Will ich den Satz anwenden, so brauche ich doch ein Vektorfeld f.
Das Oberflächenintegral von f ist dann gleich dem Integral über die Kugel von div f.

Ich versteh nicht, wie ich f wählen sollte, dass das Sinn macht?

lg

17.10.2011, 13:56

Wetal

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versuch mal $\begin{eqnarray*} f(x):= x \end{eqnarray*}$

17.10.2011, 14:09

Gast11022013

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Unter einem Vektorfeld $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray*} \Xi\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ versteht man eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\Xi\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , d.h. jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x\in\Xi \end{eqnarray*}$ wird ein Vektor $\begin{eqnarray*} f(x)\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zugeordnet.

Daher liegt es nahe, einfach

$\begin{eqnarray*} f(x):=x \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Edit:

Da war ich zu langsam. Augenzwinkern

17.10.2011, 14:35

Ehos

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RE: Gaußscher Integralsatz
Edit: Komplettlösung entfernt.

17.10.2011, 15:30

Gast11022013

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RE: Gaußscher Integralsatz
Warum rechnest Du dem Fragesteller denn schon alles vor?

17.10.2011, 15:53

Stevö

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vielen Dank, das sieht gut

dummerweise kenn ich diese Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \int_{Rand} f \, =\int_{Vol}\! div f \, d\vec{x} \end{eqnarray*}$
dabei kommt mir dann der Normalvektor abhanden.

Ich wüsst auch nicht, wie das für $\begin{eqnarray*} f(x)=\vec{x}<br /> \end{eqnarray*}$ funktionieren sollt,
dann hätt ich ja $\begin{eqnarray*} div f= div(x,y,z)=1+1+1=3 \end{eqnarray*}$
und darüber das Kugelintegrali st nicht die Oberfläche

lg

17.10.2011, 16:21

Huggy

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Zitat:

Original von Stevö
dummerweise kenn ich diese Schreibweise
$\begin{eqnarray*} \int_{Rand} f \, =\int_{Vol}\! div f \, d\vec{x} \end{eqnarray*}$
dabei kommt mir dann der Normalvektor abhanden.

Wie denn das?
Ehos hatte doch zweckmäßigerweise als Vektorfeld gerade den Normalenvektor gewählt, also bei ihm:

$\begin{eqnarray*} \vec f = \vec n=\frac{\vec x}{|x|} \end{eqnarray*}$

17.10.2011, 16:50

Stevö

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oh, okay

wo ich jetzt noch ansteh, warum funkitionierts für
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nicht?
Wenn ich doch nur über den Rand der Kugel integrier, warum sollt ich dann normieren?

17.10.2011, 16:54

Gast11022013

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Normieren?

Weil man den äußeren Einheitsnormalenvektor nimmt.

17.10.2011, 17:20

Huggy

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Zitat:

Original von Stevö
Wenn ich doch nur über den Rand der Kugel integrier, warum sollt ich dann normieren?

Du musst nicht normieren. Aber wenn du nicht normierst, ergibt das Integral auch nicht die Oberfläche der Kugel. Und die sollst du doch ausrechnen.

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