Supremum, Infimum, Maximum und Minimum bestimmen

17.10.2011, 18:15

Janina1991

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Supremum, Infimum, Maximum und Minimum bestimmen

Edit (mY+): KEINE Hilfeersuchen im Titel, diese müssen entfernt werden.

Meine Frage:
Hey, also ich verzweifel grade an meinem Übungsblatt für Analysis 1.

Ich soll von $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R | 2-2x\leq 3 \end{eqnarray*}$ das Supremum und Infimum bestimmen, sowie das Maximum und Minimum.

Leider habe ich keine Idee, wie ich daran gehen soll.

Meine Ideen:
Also ich hatte mir bis jetzt überlegt, das ich erst mal überpfüfen muss ob die Menge überhaupt beschränkt ist. Wir hatten in der Übungsaufgabe die Menge $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R :1\leq x²<4 \end{eqnarray*}$
Dafür haben wir geguckt, was die obere bzw untere Schranke ist und aufgeschrieben:
obere Schranke: z.B. x=4
untere Schranke: z.B. x=-3
Supremum: 2
Infimum: -2
Maximum: existiert nicht
Minimum: existiert nicht

Ich weiß aber nicht wie die darauf gekommen sind, ich hab das zwar eingesetzt aber iwie versteh ich es nicht.

Es wäre nett, wenn mir das jemand einmal vorrechnen könnte, bzw erklären könnte, damit ich das selber anwenden kann.

Danke schon mal im voraus.
Janina

17.10.2011, 18:33

Cel

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Hallo, ein kleiner Tipp für LaTeX. Die geschweifte Klammer bekommst du mit \{ \}.

Wir betrachten also die Menge $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb R ~|~ 2 - 2x \leq 3\} \end{eqnarray*}$ .

Versuche, bei solchen Aufgaben das x zu isolieren. Forme die Ungleichung so um, dass auf einer Seite nur das x steht. So haben die das bei der anderen Menge auch gemacht.

Hoffentlich hilft dir dieser Tipp schon weiter.

17.10.2011, 21:07

Janina1991

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Ja danke, das hilft mir aufjedenfall schon weiter. Dann versuch ich das mal:

also:

2-2x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3 |-2
-2x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 | : (-2)
x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -0,5

richtig?

ist das denn jetzt die untere Schranke? und wie komm ich dann auf die obere Schranke?

Und ist -0,5 dann auch gleichzeitig das Infimum?

17.10.2011, 21:19

Cel

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Also, das Ergebnis ist falsch. Aber WENN es stimmen würde, dann WÄRE -0,5 obere Schranke. Schließlich sollten ja alle x kleiner sein.

Es gibt da aber so eine Regel ... Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, dann passiert etwas mit dem Ungleichheitszeichen. Idee!

Idee!

17.10.2011, 21:21

Janina1991

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hmm mist...

ich weiß leider nicht, was dann passiert, ich glaube das hat der prof nicht erwähnt..

Leider unglücklich

unglücklich

Aber was passiert denn dann?

17.10.2011, 21:25

Janina1991

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wird dann vllt aus $\begin{eqnarray*} \leq \geq \end{eqnarray*}$ ???

Und warum ist das Ergebnis falsch? ich habs nochmal gerechnet und komme schon wieder dadrauf unglücklich

unglücklich

unglücklich

Wo ist mein Fehler?

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17.10.2011, 21:34

Cel

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Das Ungleichheitszeichen dreht sich um, genau.

Wir haben also $\begin{eqnarray*} x \geq -0,5 \end{eqnarray*}$ ? Wie sieht es jetzt aus mit unterer / oberer Schranke, Supremum / Infimum und Minumum / Maximum?

In Worten: "x größer oder gleich -0,5".

17.10.2011, 21:37

Janina1991

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ahh also ist meine - 0,5 schon richtig gewesen, nur das Zeichen war falsch herum..

also die größte obere schranke ist alles was größer oder gleich -0,5 ist richtig?

das Supremum ist dann -0,5 und das Maximum auch?

was das infimum und minimum ist weiß ich leider nicht, wie komm ich denn da drauf?

17.10.2011, 22:00

Cel

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Du musst dir noch mal die Definitionen angucken. Das Supremum und das Maximum können nicht -0,5 sein, denn zum Beispiel liegt auch 20 in der Menge und das ist mit Sicherheit größer als -0,5. Das Supremum ist aber die kleinste obere Schranke.

Wie wäre es denn, wenn -0,5 die größte untere Schranke wäre? Deswegen habe ich das auch in Worten formuliert.

Es liegen alle x in der Menge, die GRÖßER oder gleich -0,5 sind.

Du kannst die Menge $\begin{eqnarray*} \{ x ~|~x \geq -0,5\} \end{eqnarray*}$ auch als Intervall schreiben, wie nämlich? Kennst du hoffentlich aus der Vorlesung oder aus der Schule.

17.10.2011, 22:06

Janina1991

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oh man...

also das intervall wäre doch -0,5 bis ? weiß ich ja nicht, was ist denn die kleinste obere schranke? wie rechne ich die denn aus?

Und wie kommt man dann von den Ergebnissen zum Supremum, Infimum, Maximum und Minimum?

Ich versteh das iwie noch nicht so ganz, wie ich da drauf kommen soll, ich glaube ich denke viel zu umständlich unglücklich

unglücklich

17.10.2011, 22:10

Cel

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-0,5 bis ? Was steht beim Fragezeichen? Hoffentlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann stimmt das.

Nun ja, machen wir mal erst das Infimum bzw. Minimum.

Du suchst dann die kleinstmögliche Zahl, die in der Menge liegt.

Und wenn die Menge alle Zahlen sind, die größer oder gleich -0,5 sind, welche ist dann wohl die kleinstmögliche Zahl?

17.10.2011, 22:14

Janina1991

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also um ehrlich zu sein, unendlich stand da nicht, das Fragzeichen sollte heißen, dass ich das nicht weiß was da hin musste, da man das ja nicht wissen kann, aber immerhin, war das schon mal annähernd richtig...

Wenn die Menge alle Zahlen sind, die größer oder gleich -0,5 sind, dann muss die kleinstmögliche Zahl doch kleiner als -0,5 sein oder? also -0,6?

17.10.2011, 22:21

Cel

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Puh ... du machst es mir nicht leicht, und das so kurz vor dem Bettchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Menge, die wir uns angucken, ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} [-0,5; \infty) \end{eqnarray*}$ . Eben alle Zahlen $\begin{eqnarray*} \geq -0,5 \end{eqnarray*}$ .

-0,6 wäre eine unere Schranke. Aber das Infimum ist die größte untere Schranke.
-0,55 ist eine weitere untere Schranke und größer als -0,5. Und dann können wir noch näher dran, mit -0,51 zum Beispiel. Aber es geht noch näher, -0,509, noch näher, -0,508, -0,507, ... Wie nahe kommen wir an die -0,5 ran? Größer als -0,5 darf das Infimum nicht sein, denn dann ist es keine untere Schranke mehr für $\begin{eqnarray*} [-0,5; \infty) \end{eqnarray*}$ .

So, mehr kann ich dann aber nicht sagen, ohne es explizit hinzuschreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.10.2011, 22:25

Janina1991

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oh man es tut mir so leid, dass ich das nicht verstehe...

also ist dann das infimum -0,5?

17.10.2011, 22:31

Cel

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Es muss dir nicht im Geringsten Leid tun. Es ist gut, dass du dran bleibst. Freude

Freude

Und wir haben es. Das Infimum ist -0,5. Kannst du dir merken: Wenn du es hinbekommst, eine Menge wie diese so umzuformen, dass dort irgendetwas in der Form x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ und rechts eine Zahl steht, dann hat diese Zahl etwas mit Inf, Min, Max bzw. Sup zu tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

So, was ist das Minimum? Einfach das Infimum, wenn es in der Menge liegt.

Und was ist das Supremum? Wenn eine Menge "nach oben nicht aufhört" wie diese, dann ist das Supremum Unendlich. Was ist mit dem Maximum?

17.10.2011, 22:35

Janina1991

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also dann ist das Minimum auch -0,5 und das Supremum ist unendlich und das Maximum müsste doch dann auch unendlich sein oder?

17.10.2011, 22:40

Cel

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Fast. Unendlich ist keine reelle Zahl. Deswegen gibt es das Maximum nicht. Ein gutes Beispiel, um sich das zu merken: f(x) = x². Das Maximum ist der Wert an der höchsten Stelle, aber die gibt es hier nicht. Es geht immer höher.

Wie auch bei der Menge. Deswegen gibt es nur ein Supremum.

Freude

Freude

17.10.2011, 22:42

Janina1991

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okay aber das Supremum ist unendlich? oder existiert das auch nicht?

17.10.2011, 22:50

Cel

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Das Supremum ist unendlich, richtig. Das ist eine Definition, die man setzt. Siehe Wiki. Wenn man immer weiter nach oben kommt, wie hier, sagt man, das Supremum sei Unendlich. Frag aber noch mal deinen Tutor, vielleicht macht ihr es anders (ist unwahrscheinlich).

17.10.2011, 22:54

Janina1991

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okay vielen vielen Dank smile

smile

Aber zwei Fragen hab ich noch:
1) Wenn ich jetzt meinetwegen <2 habe, ist dann die größte untere schranke z.b. x=3? Und wie würde ich dann aufs Infimum, Maximum, Minimum und Supremum kommen?
2) Wann ist denn eine Menge nicht nach oben unendlich? Was müsste dann da stehen?

17.10.2011, 22:57

Cel

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Nun, ein Beispiel hast du ja schon gepostet. Die Menge ist nach oben und unten beschränkt.

Ganz einfaches Beispiel: Das Intervall [1,3]. Infimum=Minimum=1 und Supremum=Maximum=3.

Edit:

Zitat:

Original von Janina1991
1) Wenn ich jetzt meinetwegen <2 habe, ist dann die größte untere schranke z.b. x=3? Und wie würde ich dann aufs Infimum, Maximum, Minimum und Supremum kommen?

3 ist keine untere Schranke. Denn 1 liegt dann in der Menge und 3 ist größer als 1.

Du suchst nach dem Supremum, der kleinsten oberen Schranke. 3 wäre eine obere Schranke, aber nicht die kleinste. Denn 2,5 ist ja kleiner. Dann wieder 2,4 und 2,3 ... Es geht immer näher an die 2 dran. Unter die zwei wieder nicht. Was ist das Supremum?

17.10.2011, 23:00

Janina1991

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ahh okay danke smile

smile

Okay einmal versuch ich es noch:
$\begin{eqnarray*} |5x+3|-|3x-2|<5 \end{eqnarray*}$

5x+3-3x-2<5 |zusammenfassen
2x+1 <5 |-1
2x<4 |:2
x<2

so dann müsste:
größte untere Schranke z.b. x=3
kleinste obere Schranke: z.b. x= weiß ich nicht, auch unendlich?
Supremum: wieder unendlich
Infimum: alles was <2 ist, wie schreib ich das auf? Oder schreib ich 1,999999?
Maximum: gibts dann nicht
Minimum: <2

also wäre es ja hier dann genau anders run
kleinste obere schranke: x=3
größte untere schranke unendlich?
Maximum: <2
Minimum: exisitiert nicht
Infimum: unendlich
Supremum: <2

stimmt die aufgabe dann so?

17.10.2011, 23:09

Cel

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Schau noch mal meinen Edit an, hier machst du einen ähnlichen Fehler.

Zusätzlich kannst du nicht einfach die Beträge weglassen, da brauchst du eine Fallunterscheidung. Ich gehe jetzt schlafen und gucke morgen wieder rein, aber guck dir mal Threads hier für Betragsungleichungen an. Du musst zwischen drei Fällen unterscheiden. Morgen dazu mehr.

17.10.2011, 23:10

Janina1991

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okay ich guck mir das dann auch morgen an, wenn die konzentration besser ist smile

smile

aber vielen dank bis jetzt schon mal smile

smile

18.10.2011, 16:14

Janina1991

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Achso oh, ich dachte ich kann die weglassen....

Die erste Aufgabe war nämlich auch |2-2x| $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$

Was ändert sich denn dann????

Ich habe mir noch mal die Aufgabe von der Präsenzübung angeguckt und da hat die Tutorin das gemacht:

Aufgabe: Bestimmen Sie alle x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , für die

x+2<3 |x| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x+3

gilt.

und da hat die Tutorin dann raus gemacht:

3 |x| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x+3
3x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ x+3 |-x
2x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3 |:2
x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3/2

Deswegen dachte ich das wäre unwichtig?

Wie muss ich das denn dann jetzt erstmal bei der ersten Gleichung |2-2x| $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ verändern?

18.10.2011, 16:27

Cel

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Das, was du schreibst, ist nur die Häflte der Rechnung. Was ist denn jetzt die Lösungsmenge? Welche x erfüllen diese Ungleichung?

Man macht dort eine Fallunterscheidung. $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann kann man die Beträge weglassen. Das liegt an der Definition des Betrages:

$\begin{eqnarray*} |x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Der Fall, der fehlt, ist x < 0. Dann ist nämlich |x| = -x und man kann das dann wiederum auflösen.

Für $\begin{eqnarray*} |2-2x| \leq 3 \end{eqnarray*}$ musst du die Nullstellen von 2-2x finden. Wenn x größer als die Nullstelle ist, dann ist 2-2x negativ, also ist dort |2-2x| = -(2-2x). Eben, weil das zwischen den Beträgen negativ ist.

18.10.2011, 16:32

Janina1991

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okay dann versuch ich das mal mit den Nullstellen:

2-2x=0 |+2
-2x =2 |:-2
x=-1

und unser x war doch -0,5, also ist die Nullstelle kleiner? also muss ich da nichts mehr mit machen?

18.10.2011, 17:56

Cel

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Bei der -0,5 gab es doch gar keine Beträge. Das war etwas ganz anderes.

Und bei deiner Rechnung ist ein Vorzeichenfehler. Guck noch mal drauf.

Und dann kannst du eben die Beträge weglassen, wenn die x kleiner (!) als die Nullstelle sind. Dort sind die Funktionswerte nämlich größer als Null. Löse das dann mal auf.

Sind die x größer als die Nullstelle, musst du ein Minuszeichen vor dem Term setzen, wenn du die Beträge auflöst.

18.10.2011, 18:01

Janina1991

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doch wo -0,5 raus kam, bei der aufgabe waren auch betragsstriche

nur da die tutorin die nicht beachtet hat, hab ich das auch nicht -.-

oh mist

dann ist x= 1

aber dann ist das größer als x die 1 richtig?

18.10.2011, 18:11

Janina1991

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aaaaalso dann wäre das bei meier Aufgabe, an der wir gestern die ganze Zeit saßen:

|2-2x| $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ (((Vorher: 2-2x| $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ , durch meinen Fehler)))

also Nummstelle ist ja x=1

also größer als die x werte, da es positiv ist. (aber woher weiß ich denn die x werte, das hab ich immernoch nicht so ganz verstanden)

so dann:

- 2-2x $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ (anstatt 2-2x $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ )
so dann kommz da

-2-2x $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ | +2
-2x $\begin{eqnarray*} \leq 5 \end{eqnarray*}$ | : -2
x $\begin{eqnarray*} \leq -2,5 \end{eqnarray*}$

dann vorzeichen drehen also x>gleich -2,5

dann größte untere Schranke: z.B. x= -2,7
kleinste obere Schranke: unendlich
Infimum: -2.5
Minimum: -2,5
Supremum: unendlich
Maximum: existiert nicht

hab ich das jetzt so richtig gemacht?

18.10.2011, 18:11

Cel

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RE: Hilfe beim Bestimmen von Supremum, Infimum, Maximum und Minimum
Eh ja, gut, dann sage ich das lieber noch mal: Das, was wir gemacht haben, ist schön und gut, aber nicht die Lösung der Aufgaben.

Wir haben $\begin{eqnarray*} \{x ~|~ 2-2x \leq 3\} \end{eqnarray*}$ betrachtet, dort ist das Minimum -1/2, das Infimum auch, das Maximum gibt es nicht, das Supremum ist Unendlich.

Jetzt kommen wir dann zu wirklichen Aufgabe $\begin{eqnarray*} \{x ~|~ |2-2x| \leq 3\} \end{eqnarray*}$ .

Die Nullstelle des Termes ist x=1. Und jetzt gilt folgendes: Für x > 1 musst du beim Auflösen ein Minus vor den Term setzen, also die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -(2-2x) \leq 3 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x \leq 1 \end{eqnarray*}$ kannst du die Beträge einfach weglassen und musst die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2-2x \leq 3 \end{eqnarray*}$ lösen. Und dran denken: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst, dann drehen sich die Ungleichheitszeichen um!

Die Lösungsmenge bekommst du dann, in dem du in den einzelnen Fällen guckst, welche x die jeweiligen Ungleichungen erfüllen. Du sagst, x < 1 und löst auf. Du bekommst dann eine weitere Anforderung an die x, dort nämlich x > -0,5. Und dann überlegst du dann, welches Intervall beschreibt die Zahlen, die kleiner als 1 sind und größer als -0,5. Beides Mal ist dort ein echtes Ungleichheitszeichen.

Edit: Nein, du hast wieder einen Fehler gemacht. Klammern! Die darfst du nie vergessen. Wir schauen erst mal, dass die Ungleichung gut gelöst ist. Denn was ein Supremum ist, hast du immer noch nicht verstanden, glaube ich. Guck auf jeden Fall noch mal in deine Unterlagen.

18.10.2011, 18:25

Janina1991

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Ja mach ich aufjedenfall gleich smile

smile

Ich muss nur jetzt zur Arbeit, bin aber um halb 9 wieder da, wäre nett, wenn du dann weiter gucken würdest, ob ich es dann richtig mache, muss das nämlich morgen abgeben -.-

Vllt bis später
smile

smile

18.10.2011, 20:53

Janina1991

Auf diesen Beitrag antworten »

alsooo, ich hab das jetzt noch mal gemacht und diesmal hoffentlich richtig

also es ist ja x=1 die Nullstelle also x >1
(hab ich das richtig verstanden, das x immer größer ist, wenn da ein positives vorzeichen vor ist? also zum beispiel 2,5,15 ist größer als x, aber -6, -100 ist kleiner als x richtig?

aufjedenfall, muss ich durch das größer zeichen die klammern setzen und ein minus vor den betrag setzen

-(2-2x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3

so und jetzt die klammer auflösen, ich war da immer unsicher drin, aber eigentlich steht da doch -1*(2-2x) oder?

falls es so wäre, dann ist es :
-2+2x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 3 |+2
2x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5 |:2
x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 2,5

stimmt das?

18.10.2011, 21:18

Cel

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Also, dieser Teil ist richtig. Welche Lösungsmenge ergibt sich also? Welches Intervall gibt die Zahlen an, die größer als 1 sind und kleiner als 2,5? Als Intervall geschrieben?

Und wie ist die Lösungsmenge des Falles x <= 1?

Übrigens hat das nichts damit zu tun, welches Vorzeichen vorhanden ist. Du weißt, dass der Term negativ wird, wenn x > 1 wird, also muss ein Minuszeichen beim Auflösen hinzukommen. Achte morgen auf jeden Fall darauf, dass du es verstehst. Und wenn nicht: Frag noch mal nach! Das ist wichtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.10.2011, 21:23

Janina1991

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wow also das ja schon mal etwas

Ja das Intervall wäre ja >1 Intervall <2,5, kann ich das genauer schreiben?

die lösungsmenge fpr x<=1 müsste >= -0,5 sein richtig?

18.10.2011, 21:40

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dafür gibt es eine Schreibweise

x > 1 und x <2,5 ist (1; 2,5) oder ]1; 2,5[

Und das zweite stimmt fast. = -0,5 darf x nicht sein.

x > -0,5 und x <=1 ist (-0,5; 1] oder ]-0,5; 1].

Näheres bei Wiki.

So, jetzt kann man das noch kürzer schreiben, man vereinigt die Intervalle und bekommt insgesamt das Intervall

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{3}\right) \end{eqnarray*}$ , an der Uni nimmt man eher Brüche.

So, und jetzt mach es nicht zu schwer. Das Infimum ist die kleinstmögliche Zahl, an die man rankommt, aber immer noch innerhalb des Intervalls. Das Supremum ist die größtmögliche Zahl, an die man innerhalb des Intervalles rankommt.

Minimum und Maximum gibt es hier nicht. Warum?

18.10.2011, 21:42

Janina1991

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das Infimum ist -0,5 und das Supremum 2,5?

es gibt kein Max und Min, weil diese nicht mehr in der menge liegen, weil kein kleiner oder größer gleich vorhanden ist?

18.10.2011, 21:56

Cel

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Wun-der-bar! Freude

Freude

Allgemein sind die Ränder eines Intervalls immer das Supremum bzw. Infimum. Und wenn die Ränder dazugehören, dann sind eben auch Minima und Maxima vorhanden.

18.10.2011, 21:57

Janina1991

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okay und kleinste obere schranke: z.b x=-0,6?
und größte untere schranke dann z.b x=2,6?

das andere hab ich ja auf langem weg rausgefunden, dank deiner Hilfe smile

smile

18.10.2011, 22:05

Janina1991

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Jetzt versuche ich nochmal die andere

m={x aus den reellen Zahlen: |5x+3|-|3x-2|<5}

so also erst mal die Nullstellen

5x+3=0 | -3
5x=-3 |:5
x=-0,6

x<1 also muss kein (-) zeichen vor den betrag.

Muss ich das jetzt auch wieder für x<1 ausrechnen?

und:

der zweite teil ab dem Minus Zeichen, muss ich die NUllstelle von
-|3x-2|berechnen
oder
|3x-2|? also gehört das minus zeichen zu dem term schon zu ?

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