Invarianz

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17.10.2011, 18:20	qwertzmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Invarianz Meine Frage: Sei V ein Vektorraum der Dimension 2n+1 mit n Element aus N und sei f ein Endomorphismus von V nach V. Beweisen Sie, dass es einen invarianten Unterraum W von V mit W!=0 und W!=V gibt! Ich habs versucht, hab es aber nicht hinbekommen. Und zwar deswegen: Sei v1,v2,v3 eine Basis von V und sei f(v1)=v2 ; f(v2)=v3 ; f(v3)=v1. Wie bekommt man z.B. hier einen invarianten Unterraum bezüglich f??? Meine Ideen: S.o.
17.10.2011, 18:25	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu dem von dir genannten Beispiel: betrachte mal den Unterraum, der von $\begin{eqnarray} v_1+v_2+v_3 \end{eqnarray}$ erzeugt wird. Zu der allgemeinen Aussage noch eine Frage: über welchem Körper findet das ganze statt? Über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist es zum Beispiel banal. Edit: Und über beliebigem Körper ist die Aussage falsch.
17.10.2011, 18:30	qwertzmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird R betrachtet. Wie geht es da von statten?
17.10.2011, 18:32	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte das charakteristische Polynom und versuche zu zeigen, dass es einen Eigenwert gibt. Dazu benötigst du einen Satz aus der Analysis.
17.10.2011, 18:36	qwertzmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht dieser Satz aus? Mit dem char. Polynom kann man doch ganz leicht zeigen, dass es Eigenwerte gibt, denn das sind die Nullstellen des char. Polynoms oder?
17.10.2011, 18:39	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es geht um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Aber nicht jedes reelle Polynom hat auch eine Nullstelle. Daher muss hier eine Voraussetzung aus der Aufgabenstellung eingehen. Der Satz ist ein Klassiker aus der Analysis I, der eine Aussage über stetige Funktionen macht, genauer darüber, welche Werte diese Funktionen unter anderem annehmen. Klingelt's schon?
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17.10.2011, 18:40	qwertzmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Bolzano???
17.10.2011, 18:45	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, gemeint ist der Zwischenwertsatz.
17.10.2011, 18:51	qwertzmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast ;-) aber was kann ich damit machen?
17.10.2011, 18:56	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich doch schon gesagt: es lässt sich die Existenz einer Nullstelle folgern, wenn man eine wichtige Voraussetzung beachtet. Vielleicht noch ein Tipp, der eigentlich schon zu viel verrät: Grad des charakteristischen Polynoms.
17.10.2011, 18:58	qwertzmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Grad des char. Polynoms ist 2n+1 also ungerade... große negative zahlen würden neg. Zahlen liefern bei positiven gilt analoges.. lässt sich so die existenz der nullstelle begründen?
17.10.2011, 19:07	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ganz nah dran. Du weißt also $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty, ~\lim_{x\to -\infty}= -\infty \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ das char. Polynom ist. Außerdem ist das char. Polynom eine stetige Funktion von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Also sagt der Zwischenwertsatz genau das aus, was wir brauchen. Dass man dann einen invarianten Raum hat, ist klar, oder?
17.10.2011, 19:09	qwertzmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry aber das mit dem invarianten Raum ist mir unklar... Ist der Eigenraum des Eigenwerts dann so etwas oder wie?
17.10.2011, 19:24	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst die Existenz eines invarianten Unterraums $\begin{eqnarray} 0 \subsetneq W \subsetneq V \end{eqnarray}$ beweisen. Nun betrachte einmal die Einheitsmatrix: dort ist der einzige Eigenraum schon der ganze Raum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Wir können also i.A. nicht den ganzen Eigenraum zum gefundenen Eigenwert verwenden. Aber wenn wir einen Eigenwert haben, dann haben wir auch die Existenz eines Eigenvektors. Von diesem können wir einen Raum erzeugen lassen, der offensichtlich alles erfüllt, was wir wollen.
17.10.2011, 19:33	qwertzmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok verstanden. Danke

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