Winkelhalbierende teilt gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.

17.10.2011, 18:29	FOS 12	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelhalbierende teilt gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten. Meine Frage: Behauptung: In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der Anliegenden Seiten. Dies soll bewiesen werden. Meine Ideen: hier eine kleine Skizze und der erste Ansatz. Meine Vorgehensweise bis her war alles durch die Vektoren u und w auszudrücken und mit Teilverhältnisen zu arbeiten. ich komme leider auf keine sinnvolle Lösung. [attach]21506[/attach] ich hoffe ihr könnt mir wenigstens ansatzweise weiterhelfen edit: Grafik von externem Host kopiert und hochgeladen. LG sulo
17.10.2011, 18:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier gibt es einen elementaren Beweis. Vielleicht gelingt es dir ja, daraus einen vektoriellen zu basteln.
17.10.2011, 18:48	FOS 12	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht wirklich :s
17.10.2011, 18:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
10 Minuten nachgedacht - und noch keine Lösung! Keine Angst, das ist völlig normal! Mathematik heißt auch: nicht aufgeben und durchhalten!
17.10.2011, 19:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir deine Zeichnung angeschaut und beziehe mich auf sie. Vorsicht! Lebensgefahr! Vektoren kann man nicht dividieren! In der Zeichnung sind $\begin{eqnarray} \vec{u} = \overrightarrow{AB} \, , \ \vec{w} = \overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ linear unabhängige Vektoren, und die Gerade $\begin{eqnarray} AT \end{eqnarray}$ ist Winkelhalbierende bei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Jetzt betrachte den Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BT} \end{eqnarray}$ . Er ist ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray}$ . Das kann man so schreiben: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{BT} = \lambda \, \overrightarrow{BC} = \lambda \left( \vec{w} - \vec{u} \right) \end{eqnarray}$ Der Skalar $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist zu bestimmen. Wenn $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ die Länge von $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ die Länge von $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ bezeichnet, so ist der Beweis erbracht, sobald $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{c}{b+c} \end{eqnarray}$ nachgewiesen ist. (Ist dir das klar?) Jetzt braucht man einen winkelhalbierenden Vektor von $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ . Wenn man "über Kreuz" mit den Längen multipliziert, erhält man durch $\begin{eqnarray} b \vec{u} + c \vec{w} \end{eqnarray}$ einen solchen. (Ist dir das klar?) Ein Vielfaches dieses Vektors ist dann $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AT} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AT} = \mu \left( b \vec{u} + c \vec{w} \right) \end{eqnarray}$ Jetzt betrachte den geschlossenen Vektorzug, der von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ zurück nach $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ führt. Alle nötigen Vektoren habe ich oben als Terme in $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ ausgedrückt.
17.10.2011, 19:56	FOS 12	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Frage: Warum hast du bei $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{c}{b+c} \end{eqnarray}$ im Nenner $\begin{eqnarray} b+c \end{eqnarray}$ stehen? Das wäre doch dann eine addition von $\begin{eqnarray} \vec{u} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{w} \end{eqnarray}$ oder?
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17.10.2011, 23:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ein Punkt $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ eine Strecke $\begin{eqnarray} PQ \end{eqnarray}$ im Verhältnis $\begin{eqnarray} 4:7 \end{eqnarray}$ teilt, dann bedeutet das doch, daß es möglich ist, die Strecke $\begin{eqnarray} PQ \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} 11 \end{eqnarray}$ gleiche Teile zu teilen, so daß die ersten $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ Teile von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ reichen und die restlichen $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ . Mache dir eine Skizze. Die Strecke $\begin{eqnarray} PT \end{eqnarray}$ hat also $\begin{eqnarray} 4/11 \end{eqnarray}$ der Länge der Gesamtstrecke $\begin{eqnarray} PQ \end{eqnarray}$ . Für die Vektoren heißt das $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PT} = \frac{4}{4+7} \, \overrightarrow{PQ} = \frac{4}{11} \, \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray}$ Im übrigen habe ich den Verdacht, daß dir noch gar nicht so richtig klar ist, was ein Vektor ist. Mir scheint, du wirfst das mit dem Begriff der Strecke oder Streckenlänge durcheinander. Die Addition $\begin{eqnarray} \vec{u} + \vec{w} \end{eqnarray}$ hat nichts mit der Addition $\begin{eqnarray} c+b \end{eqnarray}$ zu tun. Das erste ist eine Vektoraddition, das zweite eine Zahlenaddition. Nimm etwa ein Dreieck $\begin{eqnarray} EFG \end{eqnarray}$ und betrachte die Vektorsumme $\begin{eqnarray} \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE} \end{eqnarray}$ Die ist Null. Damit ist gemeint: Die Summe ist der Nullvektor. Dagegen ist die Summe der Längen der Strecken $\begin{eqnarray} EF, FG, GE \end{eqnarray}$ nicht Null, sondern der Umfang des Dreiecks.

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