Bestätigen der Identitäten von Binomialkoeffizienten

17.10.2011, 22:15

summersunshine

Bestätigen der Identitäten von Binomialkoeffizienten

Meine Frage:
Ich muss bis Mittwoch folgendes Beispiel lösen, ich überlege jetzt schon eine Weile herum aber ich komme auf keine Lösung. Vielleicht kann mir hier jemand helfen, wäre euch sehr dankbar!

Aufgabe: Bestätigen Sie folgende Identitäten für Binomialkoeffizienten:

a.)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
b.)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich weiß leider nicht wo ich ansetzen soll unglücklich

Bitte um Hilfe.

Vielen Dank im Voraus!

17.10.2011, 22:18

weisbrot

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RE: Bestätigen der Identitäten von Binomialkoeffizienten
benutze einfach die definition des binomialkoeffizienten für natürliche zahlen und forme ein bisschen um. lg

17.10.2011, 22:55

elisarocks11

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RE: Bestätigen der Identitäten von Binomialkoeffizienten
Danke schonmal für deine Antwort smile

Also die Definition vom Binomialkoeffizienten ist ja:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$
Aber was meinst du damit? Ich kann ja nicht einfach was umändern?

lg

ps: ich hab irgendwie das registrieren mit summersunshine verbockt, hab die falsche email eingegeben jetz kann ich mich nicht mehr mit dem namen anmelden, also das ist mein neuer name smile

17.10.2011, 23:16

samim

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RE: Bestätigen der Identitäten von Binomialkoeffizienten

Zitat:

Original von elisarocks11
Danke schonmal für deine Antwort smile

Also die Definition vom Binomialkoeffizienten ist ja:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Genau. Und jetzt kannst du ja auch mal hinschreiben, was du mit der Definition für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ n-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bekommst.

17.10.2011, 23:25

elisarocks11

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RE: Bestätigen der Identitäten von Binomialkoeffizienten
im Nenner statt dem k! einsetzen: (n-k)! ?

17.10.2011, 23:28

Pascal95

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Das ist so nicht korrekt!

In ähnlichem Wortlaut könnte man aber formulieren:
"statt dem k einsetzen n-k"

17.10.2011, 23:29

samim

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Ja fast. Da steht ja auch noch ein 2. k drin im Nenner. Dafür musst du auch das n-k einsetzen.

edit: da war wer schneller...

17.10.2011, 23:32

Pascal95

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Ja, das meinte ich mit einsetzen.

Man könnte den Binomialkoeffizienten ja als Funktion $\begin{eqnarray*} B(n,k):=\binom n k \end{eqnarray*}$ betrachten Big Laugh

Und da kann man ja einsetzen...

17.10.2011, 23:42

elisarocks11

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was ist genau gemeint mit bestätigen Sie die folgenden Identitäten? mit vollständiger Induktion?

ich hab jetzt im zähler n! und im nenner stehen: (n-k)!*(n-(n-k))!

aber wir rechne ich damit jetzt weiter? worauf muss ich hinaus?
Ich versteh den Sinn dahinter irgendwie nicht unglücklich

18.10.2011, 15:22

Pascal95

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Soweit völlig richtig.

Ich schreibe es mal richtig als Bruch auf: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!\cdot(n-(n-k))!} \end{eqnarray*}$

Es ist nur eine ganze Kleinigkeit: Vereinfache den zweiten Faktor im Nenner. (Minusklammer)

18.10.2011, 15:24

Gast11022013

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Zur Orientierung dient vielleicht auch dieser Thread:

N über K und rechnen mit Fakultäten

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