Basisauswahlsatz, Basisergänzungssatz - wie anwenden?

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cheshirecat90 Auf diesen Beitrag antworten »
Basisauswahlsatz, Basisergänzungssatz - wie anwenden?
Meine Frage:
Hallo!
Meine Fragen sind folgende:

(1) Basisauswahlsatz: In jedem Erzeugendensystem ist eine Teilmenge enthalten, die Basis ist. Wie finde ich diese Teilmenge?
(2) Basisergänzungssatz: Jede linear unabhängige Teilmenge eines Vektorraums kann zu einer Basis ergänzt werden. Wie finde ich die Vektoren, um die ich die linear unabhängige Teilmenge ergänze?


Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich einfach immer wild rumprobiert und geschaut, wann meine Vektoren immer noch linear unabhängig sind solang bis ich, wenn ich einen Vektor hinzufüge, eine linear abhängige Menge kriege. Das ist aber immer eine Glückssache.

Zu (1) habe ich keine Idee.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Nimm solche weg, die sich als Linearkombination von anderen darstellen lassen. Oft kannst du sogar fast jeden Vektor wegnehmen, ohne was am Span zu ändern.


Zu 2) Hier gibt es z.b. für den R^n folgenden Trick: Nimm alle Vektoren und addiere sie. Du erhältst dann wegen der linearen Unabähngigkeit einen Vektor, der sich NUR als Summe aller bisherigen Vektoren darstellen lässt. Nun änderst du einfach irgendeine Komponente. Du erhältst dann fast immer einen Vektor, der zu den anderen linear unabhängig ist.

Du kannst dir ja mal als Übung überlegen, was los ist, wenn das nicht so ist.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Für 2) bietet sich auch der Austauschsatz von Steinitz an. Wegen dem reicht es alle Vektoren einer Basis zu testen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei "testen" aber einer gewissen Dimension keinen Spaß mehr macht Augenzwinkern
cheshirecat90 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank ihr!! smile
Steinitzscher Austauschsatz? Ahh... ich glaube, den hatten wir auch irgendwann mal. Wie ist denn das nun zu verstehen?

liebe Grüße
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