Analysis 1 Ungleichung

17.10.2011, 23:32

Attrox 6

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Analysis 1 Ungleichung

Meine Frage:
Ich scheitere zurzeit an einer Übungsaufgabe der Analysis 1. Es geht darum folgendes zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{| x+y | }{1+| x+y | } \leq \frac{| x| }{1+| x | }+\frac{| y | }{1+| y | } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also, meine eigenen Gedanken dazu sind:

Die Formel erinnert an die Dreiecksungleichung, daher habe ich probiert die Ungleichung dementsprechend umzuformen, ich komme allerdings durch die unterschiedlichen Nenner nicht weiter.
Ich würde mich daher über einen Tipp freuen, ob meine Vermutung überhaupt in die richtige Richtung geht.

18.10.2011, 02:18

Ungewiss

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Zeige $\begin{eqnarray*} \forall\ a,b \geq 0\ :\quad a\leq b \Longrightarrow \frac a{1+a} \leq \frac b{1+b}. \end{eqnarray*}$ Danach nur noch gewöhnliche Dreiecksungl. anwenden.

18.10.2011, 13:01

Attrox 6

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Ok, vielen dank für den Tipp.

18.10.2011, 13:27

sabine35

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ich habe auch mal überlegt und komme nur so weit:

$\begin{eqnarray*} \frac{\vert x+y\vert}{1+\vert x+y\vert}\leq\frac{\vert x\vert +\vert y\vert}{1+\vert x+y\vert}=\frac{\vert x\vert}{1+\vert x+y\vert}+\frac{\vert y\vert}{1+\vert x+y\vert} \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \vert x+y\vert\leq \vert x\vert+\vert y\vert \end{eqnarray*}$

wie kann ich weiter machen?

18.10.2011, 13:50

tmo

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Du hast den Tipp gar nicht beachtet.

18.10.2011, 13:52

sabine35

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ja, das stimmt.

das heißt, ich habe ihn schon gelesen, aber ich habe nicht verstanden, inwiefern er weiterhilft.

könnte mir das vllt. jemand erklären?

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18.10.2011, 13:53

tmo

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Du brauchst nur noch a und b geeignet wählen.

Kennst du denn zwei positive Zahlen, von denen eine immer größer ist als die andere?

Das Stichwort dazu ist in diesem Thread schon desöfteren gefallen: Dreiecksungleichung.

18.10.2011, 13:55

sabine35

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du meinst vermutlich

$\begin{eqnarray*} a=\vert x\vert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\vert y\vert \end{eqnarray*}$

dennoch sehe ich nicht, wie der tipp nun weiterhilft, tut mir leid

18.10.2011, 13:58

tmo

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Setze $\begin{eqnarray*} a = |x+y| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = |x|+|y| \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ . Also wende nun den Tipp an.

18.10.2011, 14:07

sabine35

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okay, dann habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1+a}\leq \frac{b}{1+b}=\underbrace{\frac{\vert x\vert}{1+b}}_{\leq\frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert}}+\underbrace{\frac{\vert y\vert}{1+b}}_{\leq\frac{\vert y\vert}{1+\vert y\vert}}\leq\frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert}+ \frac{\vert y\vert}{1+\vert y\vert} \end{eqnarray*}$ , wobei

$\begin{eqnarray*} a=\vert x+y\vert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\vert x\vert+\vert y\vert \end{eqnarray*}$

18.10.2011, 14:08

tmo

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Hat sich das Problem also erledigt? Wink

Wink

18.10.2011, 14:12

sabine35

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wenn man den tipp bzw. die ungleichung in dem tipp so voraussetzen kann, ja.

18.10.2011, 14:16

tmo

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Achso, ich dachte das wäre schon klar gewesen. Na dann versuche doch mal diese Ungleichung nachzuweisen.

Letztendlich ist ja die Monotonie von $\begin{eqnarray*} 0 \geq x \mapsto \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

18.10.2011, 14:31

sabine35

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wenn ich dich richtig verstehe, muss ich also nur zeigen, dass die funktion

$\begin{eqnarray*} f(t):=\frac{t}{1+t}, t\geq 0 \end{eqnarray*}$ wachsend ist?

ich weiß gar nicht, was bzw. wie ich das zeigen soll!

normalerweise zeigt man monotonie doch, indem man einfach mal für ein kleines $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ schaut, was $\begin{eqnarray*} \frac{f(t+h)}{f(t)} \end{eqnarray*}$ ist. wenn das größer 1 ist, wächst die funktion ja.

hier hätte ich dann

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+t)\cdot (t+h)}{t\cdot (1+t+h)}=\frac{t^2+th+t+h}{t^2+th+t} \end{eqnarray*}$ und das ist wohl größer als 1

also monoton wachsend und das müsste die behauptung aus dem obigen tipp doch zeigen?

18.10.2011, 14:33

sabine35

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du meintest oben in deiner letzten antwort bestimmt

$\begin{eqnarray*} 0\leq x\mapsto\frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$ , oder?

18.10.2011, 14:40

tmo

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Ja, so meinte ich es.

Was deinen Beweis angeht: Das "normalerweise" kann ich nicht bestätigen (eine Funktion muss schon ein bisschen was erfüllen, damit das so geht), aber der Beweis an sich geht so durch.

Damit wäre die Aufgabe also erschlagen.

18.10.2011, 14:50

sabine35

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dankeschön smile

smile

18.10.2011, 22:40

ray91

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Zitat:

Original von sabine35
okay, dann habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{1+a}\leq \frac{b}{1+b}=\underbrace{\frac{\vert x\vert}{1+b}}_{\leq\frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert}}+\underbrace{\frac{\vert y\vert}{1+b}}_{\leq\frac{\vert y\vert}{1+\vert y\vert}}\leq\frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert}+ \frac{\vert y\vert}{1+\vert y\vert} \end{eqnarray*}$ , wobei

$\begin{eqnarray*} a=\vert x+y\vert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\vert x\vert+\vert y\vert \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf den Schritt nach dem Gleichheitszeichen? Dass da x und y im Betrag/ 1+b steht jeweils?

Sorry, dass ich es so schreibe ohne Latex, aber hab noch kein Internet am Laptop und tippe hier mit dem Handy!

18.10.2011, 23:13

Gast11022013

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Hallo, vllt. darf ich die Beantwortung übernehmen?

Der Bruch wurde einfach "auseinandergezogen", d.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{\vert x\vert+\vert y\vert}{1+\vert x\vert+\vert y\vert} \end{eqnarray*}$

kann man ja auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac{\vert x\vert}{1+\vert x\vert+\vert y\vert}+\frac{\vert y\vert}{1+\vert x\vert+\vert y\vert} \end{eqnarray*}$ .

Das ist auch schon alles.

24.10.2011, 10:46

ray91

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Ja, aber man kann doch nicht einfach die summe unterm Bruch nicht beachten und das b dahinschreiben?
Dad auseinander ziehen habe ich schon verstanden!

24.10.2011, 11:01

klarsoweit

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Verstehe nicht, wo dein Problem ist.

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{b}{1+b} = \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|} = \frac{|x|}{1+|x|+|y|} + \frac{|y|}{1+|x|+|y|} \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist es wurscht, ob man das b im Nenner ersetzt oder nicht.

24.10.2011, 12:05

ray91

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Ich hab das mal auf Papier gebracht weil ich es nicht mit Latex kann. Die Datei ist im Anhang.

24.10.2011, 12:08

klarsoweit

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Also ich dachte, der nächste Schritt ist klar. Wie man leicht sieht, ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|}{1+|x|+|y|} \leq \frac{|x|}{1+|x|} \end{eqnarray*}$ .

und

$\begin{eqnarray*} \frac{|y|}{1+|x|+|y|} \leq \frac{|y|}{1+|y|} \end{eqnarray*}$ .

smile

smile

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