Schnittmengen von Kurven, komplexe Zahlen

18.10.2011, 09:02	DamoklesAT	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmengen von Kurven, komplexe Zahlen Hi, könnt ihr mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen? (Putnam 1987, A1) Curves A,B,C and D are defined in the plane as follows: $\begin{eqnarray} A=&\left\{ (x,y): x^2-y^2=\frac {x}{x^2+y^2} \right\} \\<br /> B=&\left\{(x,y): 2xy+\frac{y}{x^2+y^2}=3\right\}\\<br /> C=&\left\{(x,y): x^3-3xy^2+3y=1\right\}\\<br /> D=&\left\{ (x,y): 3x^2y-3x-y^3=0\right\} \end{eqnarray}$ Prove that $\begin{eqnarray} A \cap B=C \cap D \end{eqnarray}$ (Der Punkt (0,0) ist weder in A noch in B). ------- C und D sah irgendwie verdächtig aus. Nach ein bisschen herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} x^3-3xy^2+3y+i(3x^2y-3x-y^3)=1+i\cdot 0 =1 \iff \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+iy)^3-3i(x+iy)=1 \iff \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \boxed{z^3-3iz-1=0} \end{eqnarray}$ (mit z=x+iy) Auch mit A und B kann man etwas anfangen: $\begin{eqnarray} x^2-y^2=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{x}{z\overline{z}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i2xy+\frac{iy}{z\overline{z}}=3i \iff 2xy+\frac{y}{x^2+y^2}=3 \end{eqnarray}$ und daraus folgt: $\begin{eqnarray} x^2+\frac{iy}{z\overline{z}}+i2xy-y^2=3i+\frac{x}{z\overline{z}} \iff \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+iy)^2z\overline{z}+iy=3iz\overline{z}+x \iff \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^3-1=3iz \iff \boxed{z^3-3iz-1=0} \end{eqnarray}$ Ich habe also gezeigt, dass beide Schnittmengen maximal 3 Punkte enthalten und in beiden Schnittmengen nur Lösungen von z^3-3iz-1=0 enthalten sind. Um zu zeigen, dass die Schnittmengen gleich sind, muss ich also noch zeigen, dass beide Schnittmengen (mindestens) 3 Punkte enthalten. Und genau da komm ich im Moment nicht weiter. Ich hiffe, ihr könnte mir auf die Sprünge helfen
18.10.2011, 10:23	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittmengen von Kurven, komplexe Zahlen hallo damokles, die aufgabe ist eigentlich schon fertig, du solllst ja nur zeigen, dass die beiden schnittmengen übereinstimmen, und das hast du ja getan, weil du 2 mal auf die gleiche gleichung mit z gekommen bist. Das mit der komplexen gleichung ist übrigens ein giuter trick, damit hast du ein gleichungssystem mit 2 variablen in eine gleichung "gepackt". Welche ebene oder punkte die komplexe gleichung erzeugt, kann dir egal sein. gruss ollie3

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