kartesisches vs. direktes Produkt

18.10.2011, 11:00	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
kartesisches vs. direktes Produkt Hallo, habe hier eine Definition des direktes Produktes: Das (äußere) direkte Produkt der Gruppen G und H ist ein kartesisches Produkt mit komonentenweiser Unterscheidung. d.h. für G_i, i=1,...,n ist $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i=1}^{n}G_i =G_1\times ...\times G_n=\{ (g_1,...,g_n) \| g_i=g_{i_1}\circ_{G_i} g_{i_2}\circ_{G_i}...\circ_{G_i} g_{i_{n}}, i=1,...,n \} \end{eqnarray}$ für die i-te "Koordinate" und jeweilige Gruppe mit der jeweiligen auf der Gruppe definierten Operation. (Index im "i" gibt die Gruppenzuordnung an so ist also $\begin{eqnarray} g_{i_j}\in G_{j} \end{eqnarray}$ an i-ter Stelle des n-tupels) aber irgendwie finde ich das verwirrend. ich würde gerne erstmal die Unterschiede zwischen dem kartesischen und direkten Produkt klären, gibt es da analogien zur summe und direkten summe? Ist der Schnitt eines Elementes mit dem direkten Produkt (spricht man hier von elementen?) gleich dem neutralen Element? Die äußere Operation, die hier verwendet wird, wird innerhalb einer Gruppe dann ja zur inneren Operation - gibt es dann noch unterschiede zum kartesischen?! könnte mich da bitte jemand etwas aufklären? ich lese natürlich parallel auch noch ein wenig nach und stelle diese Frage auch in keinem anderen Forum. Liebe Grüße und schonmal vielen Dank, dass Ihr euch durch meinen Post durchbemüht habt
18.10.2011, 11:46	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kartesisches vs. direktes Produkt hallo shalec, das ist eine sehr gute frage, ich empfehle dir unbedingt, bei der wikepedia die beiden begriffe nachzusehen, beim kartesischen produkt kreuzt man die elemente nur, beim direkten produkt rechnet man dann mit den gekreuzten produkten, und das gibt dann wieder eine neue gruppe. Mach dir das am besten mit einfachen gruppen mit wenigen elementen klar. gruss ollie3
18.10.2011, 12:18	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo und dank dir erstmal für die antwort. laut wikipedia ist meine vermutung soweit korrekt. d.h. das direkte Produkt von Gruppen (endlich viele) ist gleich dem kartesischen Produkt mit dem Unterschied, dass hier Komponentenweise eine andere Verknüpfung vorliegen kann! Das kartesische Produkt benutzt in jeder Komponente die gleiche Verknüpfung, daher liegt auch hier die Vermutung nahe, dass es sich dabei um eine innere Operation handelt und es eine Gruppe gibt, deren Untergruppen gerade diese Gruppe sind, die hier im Produkt zusammengeführt wurden. Das Direkte Produkt hingegen scheint eine neue Gruppe zu bilden anhand einer äußeren Operation welche Gruppen zusammenführt, die nicht zwangsläufig aus einer selben Gruppe Untergruppe sind. D.h. das Direkte Produkt ist ein allgemeinerer Begriff und damit algebraisch wertvoller in der Betrachtung von Strukturen.
18.10.2011, 12:39	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo shalec, ob das mit den untergruppen richtig ist, weiss ich nicht, viele sachen stimmen aber, die du gesagt hast, schlage vor, du lässt dir das von unserem mitglied "galoisseinbruder" erklären, der ist experte für solche sachen und kann dir das 100%ig richtig erklären. gruss ollie3
18.10.2011, 12:49	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
ich werde ihn mal auf das thema aufmerksam machen! meine gedanke zu der "übergruppentheorie" vom kartesischen produkt ist folgender: Jeder Faktor ist selbst eine Gruppe, jede dieser Gruppen ist unter der gleichen Verknüpfung definiert (hier ist meine Unsicherheit am Größten), damit lässt sich eine Gruppe bilden, die all diese Gruppen enthält. (Frei nach einer (sigma-)Algebra) Jeder Faktor erfüllt dann unter der Operation der "Übergruppe" die axiome einer Untergruppe. Hier ist nun nur noch fraglich: Müssen die Gruppen vorher mit einer gleichen Operation definiert oder darf diese willkürlich - jedoch die Gruppenaxiomen erfüllenden - sein? Wenn ich so drüber nachdenke, dann macht eine willkürliche Operation die Gruppe, die durch das Kartesische Produkt definiert wird, nicht kaputt.
18.10.2011, 13:09	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo shalec, letzteres stimmt, mit dem kartesischen produkt hat man ja erstmal eine menge mit neuen elementen, daraus könnte ja man eine völlig neue gruppe mit einer anderen verknüpfung basteln. gruss ollie3
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20.10.2011, 13:55	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenns vielleicht schon etwas spät ist: Das kartesische Produkt ist eine Konstruktion der Mengenlehre. Das kartesische Produkt von Gruppen hat a priori keine Gruppenstruktur. Das direkte Produkt von Gruppen ist die standardmäßige Gruppenstruktur, die man auf einem kartesischen Produkt von Gruppen definiert. (mittels Komponentenweiser Verknüpfung, deshalb müssen die Gruppenoperationen auch keinerlei Kompatibilität aufweisen) Es ist aber auch möglich andere Gruppenoperationen auf kartesischen Produkten zu definieren, z.B. das semi-direkt Produkt
21.10.2011, 10:25	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
ah danke ja, das ist sinnvoll. den gedanken hatte ich auch, dass das kartesische produkt keine gruppenstruktur mitdefiniert (im allgemeinen). Mein Gedanke war dann dahingehend, dass Beispielsweise ein kartesisches produkt zwischen den Gruppen (G,.) und (H,) GxH=(g1h1,g2h2,...) keine Gruppe bilden muss. wohingegen jedoch G(x)H=(g1.g2, h1h2) wegen der Verknüpfung schon die Gruppenstruktur komponentenweise aus den Gruppen G und H erbt. Dabi ist x anzeichen für Karteisches prod und (x) direktes prod.

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