Beweis für 6 ist stets Teiler von n^3-n |
| 18.10.2011, 13:09 | lukori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis für 6 ist stets Teiler von n^3-n und wieder stehe ich auf dem Schlauch. Ich muss zeigen, dass für alle n der natürlichen Zahlen die 6 ein Teiler von n^3-n ist. Dabei darf ich verwenden, dass für jedes n der natürlichen Zahlen die 2 ein Teiler von n(n+1) ist. Ich hab da so ein paar Ansätze gehabt aber irgendwie haut das alles nicht hin. Ich hoffe ihr könnt mir ein paar Hinweise geben. Danke! |
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| 18.10.2011, 13:12 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Faktorisiere den Term mal so weit wie möglich. |
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| 18.10.2011, 13:13 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beweis für 6 ist stets Teiler von n^3-n Faktorisiere n³-n. |
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| 18.10.2011, 13:22 | lukori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier mal mein Versuch: Indirekter Beweis: A: n ist Element von N und n(n+1) ist stets durch 2 teilbar. B: n ist Element von N und n^3-n ist stets durch 6 teilbar. A --> B Voraussetzung ist, dass A gilt, was in der Aufgabenstellung auch so formuliert ist. nichtA: Mind. ein n ist bei n(n+1) nicht durch 2 teilbar. nichtB: Mind. ein n ist bei n^3-n nicht durch 6 teilbar. Habe dann halt folgende Werte genommen: n1= 6k+1 n2= 6k+2 n3= 6k+3 n4= 6k+4 n5= 6k +5 So jetzt habe ich große Schwierigkeiten (wobei ich schon bezweifle, dass mein Ansatz bis dahin überhaupt richtig ist). Hab keine Ahnung ob ich mit nichtA oder nichtB rechnen soll und in welcher Art und Weise überhaupt gerechnet werden soll (quadrieren, ergänzen... ?) |
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| 18.10.2011, 13:38 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Interessante Antwort auf:
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| 18.10.2011, 13:43 | lukori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(n-1)n(n+1) So jetzt hab ich überlegt, wenn der Teil n(n+1) durch 2 teilbar ist, muss (n-1)n durch 3 teilbar sein. Was dann beweist, dass der gesamte Ausdruck durch 6 teilbar sein muss... Schön und gut, aber (n-1)n ist nicht durch 3 teilbar. //EDIT: Ich glaube diese Überlegung ist falsch von mir, ich versuche mal eine andere: Wenn n(n+1) durch 2 teilbar ist, ist auch der gesamte Ausdruck durch 2 teilbar (??). Jetzt muss ich noch beweisen, dass (n-1)n(n+1) durch 3 teilbar ist. Habe ich das nicht bereits dadurch, dass ich den Ausdruck in 3 verschiedene Teile aufgeteilt habe ? |
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| 18.10.2011, 14:00 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da steht ein Produkt von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen.
Diese Überlegung ist wirklich falsch.
Warum sollte das so sein? Da könnte man leicht Gegenbeispiele angeben. |
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| 18.10.2011, 20:16 | lukori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm ok... kann ich denn damit argumentrieren, dass es aufgrund dessen, dass die Teile des Ausdrucks stets um 1 erhöht werden auch der gesamte Ausdruck durch 3 teilbar ist ? Also ich weiß eigentlich schon, dass es so ist aber reicht es das schriftlich auszuformulieren oder müssen noch weitere Beweise oder Rechnungen folgen ? |
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| 18.10.2011, 20:40 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Versuch doch mal, genau zu erklären, WARUM der Ausdruck auch durch 3 teilbar sein muss. Vielleicht ist es dir wirklich klar, aber dann hast du es - so sehe ich das - noch nicht ganz genau klar gemacht. Es geht ja nicht immer nur darum, Formeln und Rechnungen hinzuschreiben. Manchmal kann man auch einfach ein bisschen Text schreiben und begründen. Auch das ist dann formal sauber. |
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| 18.10.2011, 21:02 | lukori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sehe es, kann es natürlich auch durch Beispiele zeigen. Aber so richtig ne Begründung finde ich leider nicht 
Komme einfach nicht drauf. |
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| 18.10.2011, 21:04 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es reicht doch, dass man einfach sagt, dass bei drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen immer auch eine Zahl dabei ist, die ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist. |
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| 18.10.2011, 21:43 | lukori | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank! |
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