z.z Ring/Ideal ist wieder Ring |
| 18.10.2011, 14:22 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| z.z Ring/Ideal ist wieder Ring Sei I ein Ideal im Ring R, zeigen Sie: (R/I,+,*) ist ein Ring. Ich dachte mir ich muss eigentlich nur die Eigenschaften eines Rings überprüfen, aber da scheitere ich auch schon. Ich wollte als erstes die Assoziativität von + zeigen, aber habe keine Ahnung wie ich das machen soll. Außerdem, was ist das neutrale Element bezüglich + ? Im Ideal muss sich ja 0 befinden, also kann 0 nicht in R/I sein. Was ist dann das neutrale Element, wenn nicht 0? |
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| 18.10.2011, 14:26 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine letzte Fragel lässt mich etwas darauf schließen, dass du noch gar nicht so recht weißt, was eigentlich ist. Was ist es denn? Und wie sind darauf + und * überhaupt definiert? |
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| 18.10.2011, 14:31 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo lego, um die aufgabe zu verstehen, nimm als beispiel den ring Z (also die ganzen zahlen), das ideal 2Z und untersuche dann (Z/2Z, +,*), dann wird dir einiges klarer werden. woraus besteht Z/2Z dann? gruss ollie3 |
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| 18.10.2011, 14:39 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also wenn ich das Z/2Z Beispiel betrachte: das sind dann ja die ungeraden Zahlen. Damit + darin funktioniert kann es nicht das ursrüngliche + sein, da wir sonst keine Abgeschlossenheit hätten, oder? Aber was kann ich dann über dieses + aussagen? |
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| 18.10.2011, 14:42 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Womit wir wieder bei
wären. Du verwechselt hier gerade mit . Letzteres ist hier nicht gemeint und ist auch im Allgemeinen nicht von Bedeutung. |
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| 18.10.2011, 14:45 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo lego, nein, Z/2Z besteht aus 2 elementen, die geraden u n d die ungeraden zahlen, man schreibt auch Z/2Z = {o,1}, das o-element wären dann die geraden zahlen. gruss ollie3 |
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| 18.10.2011, 14:46 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach, ich hab das Zeichen falsch interpretiert, danke euch. Ich denk nochmal drüber nach und melde mich bei Fragen wieder. |
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| 18.10.2011, 15:07 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Puh, jetzt hab ich mir mal bei wiki so durchgelesen, was ich darüber so gefunden habe und bin glaub ich verwirrter als vorher. Also R/I ist die Faktorgruppe, also die Menge und das + ist so definiert: (rI)+(sI)=(r+s)I Richtig? |
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| 18.10.2011, 15:19 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo lego, ja, das ist richtig. |
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| 18.10.2011, 15:26 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Somit zur Assoziativität: (aI+bI)+cI=(ab)I+cI=((ab)c)I=(a(bc))I=aI+(bc)I=aI+(bI+cI) das neutrale element ist 0I und das inverse zu aI ist dann (-a)I Alles richtig so weit? |
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| 18.10.2011, 15:51 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo lego, wieso ist aI+bI=(ab)I ? das ist falsch, das geht viel einfacher. Das mit dem neutralen und dem inversen element ist schonmal richtig. |
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| 18.10.2011, 15:55 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, war ein Tippfehler, soll natuerlich aI+bI=(a+b)I heißen, so wie oben (aI+bI)+cI=(a+b)I+cI=((a+b)+c)I=(a+(b+c))I=aI+(b+c)I)=aI+(bI+cI) |
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| 18.10.2011, 16:14 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo lego, jetzt ist alles richtig! 
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| 18.10.2011, 16:18 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine kleine - aber wichtige - Anmerkung: Abgesehen von der merkwürdigen Schreibweise für die Nebenklassen (es sind schließlich additive Nebenklassen, nicht multiplikative), ist bis jetzt das wohlmöglich wichtigste noch nicht angesprochen worden: Es sollte auch noch gezeigt werden, dass die Operationen + und * auf überhaupt wohldefiniert sind, d.h. unabhängig von der Wahl des Repräsentanten. Da geht nämlich entscheidend die magnetische Eigenschaft eines Ideals ein. |
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