Kovergenz einer Reihe

18.10.2011, 20:00

qed

Kovergenz einer Reihe

Servus!

Ich habe gerade über folgendes (vermutlich sehr einfaches) Beispiel nachgedacht - bin mir aber nicht sicher ob ich das (und die Definitionen und Sätze) richtig verstanden habe.

Es geht um folgendes: Es ist die folgende Reihe auf Kovergenz zu untersuchen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$ .

Nach dem Trivialkriterium gilt, wenn ich das richtig verstanden habe, dass die Reihe konvergent ist, falls $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n \in \mathbb N }= \frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$ für große n gegen 0 geht.

Dies ist gegeben, da es für alle Epsilon > 0 ein n0 gibt für dass mit n>=n0 $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{2n-1} - 0| < \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Ist damit die Konvergenz der Reihe gezeigt?

Lg und danke für eure Zeit!

18.10.2011, 20:06

ThomasFF

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RE: Kovergenz einer Reihe
Leider falsch. Das Kriterium lautet:

Wenn die Reihe konvergiert, DANN ist die Folge eine Nullfolge.

21.10.2011, 07:16

qed1

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Servus!

Das ist fast schon
Wenn ich das Quotientenkriterium anwende erhalte ich einen Bruchbder definitiv kleiner ist als.1.
$\begin{eqnarray*} \frac{2n-1}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Lg, und vielen Dank für die Hilfe!

21.10.2011, 07:23

René Gruber

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Zitat:

Original von qed1
Wenn ich das Quotientenkriterium anwende erhalte ich einen Bruchbder definitiv kleiner ist als.1.

Und schon wieder falsch gelesen: Das Quotientenkriterium fordert eine Zahl $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq q<1 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q \end{eqnarray*}$ gilt. Das wichtige dabei ist, dass dieses $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ unabhängig (!) von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu wählen ist. Und genau das klappt hier bei deiner harmonischen Reihe nicht, d.h., es gibt kein solches $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

21.10.2011, 13:29

qed1

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Danke nochmals!

Meine Aufzeichnungen zum Thema sind scheinbar ziemlich schleißig. Ich werde alle.Definitionen und Sätze nachrecherchieren und versuchs dann erneut!

21.10.2011, 20:09

qed

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Servus nochmals!

Ich finde das Konvergenzkriterium so in meinen Unterlagen vor:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert wenn

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| < 1 \end{eqnarray*}$
und divergiert bei
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| \geq 1 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ mit fixem n0.

Ich habe zuerst noch eine kleine Frage zu meinem letzten Beitrag. Könnte man aus dem was ich geschrieben hatte folgern, dass sich der Quotient beliebig nahe an 1 herankommt (was mir natürlich nicht weiterhilft)?

Über das Quotientenkriterium habe ich nochmal nachgedacht - mit dem Schluss, dass es in diesem Fall keine Aussage liefert über die Konvergenz.

Ich habe folgende Schritte gemacht:
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| = \limsup_{n \to \infty} |\frac{2n-1}{2n+1}| = \limsup_{n \to \infty} |\frac{1-\frac{1}{2n}}{1+\frac{1}{2n}}| = 1. \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Sehe ich das richtig, dass das Kriterium daher keine relevante Aussage für mich liefert?

Ich habe das Wurzelkriterium auf ähnliche Art und Weise mit diversem Umformungen angewandt und komme auch hier zum Ergebnis, das mir das Kriterium nicht helfen kann.

Dabei kommt mir eine weiter kleine Zwischenfrage: Gehe ich recht in der Annahme, dass wenn das Wurzelkriterium keine Aussage über die Konvergenz liefert das Quotientenkriterium das auch nicht kann (und das Wurzelkriterium daher allgemeiner ist)?

Bei der Übung ansich bin ich nach so vielen Nebenerkenntnissen immer noch nicht wirklich weiter, entwickle aber Ansätze. smile

Vielleicht kann mir jemand sagen, ob meine bisherigen Überlegungen so weit richtig sind.

Danke!

21.10.2011, 20:17

Huy

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Zitat:

Original von qed
und divergiert bei
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| \geq 1 \end{eqnarray*}$

Da sollte, falls ich mich nicht irre, ein lim inf und eine strikte Ungleichung stehen. Du hast richtig bemerkt, dass sowohl Wurzel- als auch Quotientenkriterium hier keine Aussage machen können. Dass das Quotientenkriterium versagt, wenn das Wurzelkriterium versagt, stimmt ebenfalls, falls du eine Reihe mit positiven Summanden untersuchst.

Für deine Reihe liefert eine simple Abschätzung sofort die Lösung (Majorante/Minorante).

MfG

21.10.2011, 20:30

René Gruber

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Ergänzung: Das sollte man sich merken, wenn man es nicht schon selbst nach wenigen Beispielen merkt. Augenzwinkern

24.10.2011, 18:09

qed

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Servus!

Nach einiger Zeit mein nächster (wenn auch nicht allzu origineller Ansatz).

Ich greife also die Idee mit der Abschätzung auf.

Dann ist $\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{1}{2n} < \frac{1}{2n-1} \end{eqnarray*}$ und die Minorante $\begin{eqnarray*} \sum\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ bereits divergent.

Dabei ist die $\begin{eqnarray*} \sum\frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ eine allgemeine harmonische Reihe und daher divergent.

Und - woran scheiterts diesmal? smile

Danke im Vorhinein!

25.10.2011, 08:56

klarsoweit

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Diesmal ist alles richtig. Freude

25.10.2011, 19:19

qed

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Super!

Danke dir! smile

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