Kürzeste Diagonale

18.10.2011, 20:33

Ascareth

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Kürzeste Diagonale

Hallo,

welches von allen Rechtecken mit gegebenem Umfang hat die kürzeste Diagonale?

$\begin{eqnarray*} U = 2a + 2b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \sqrt[]{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt U nach a oder eben b umformen, und in D einsetzen. Also so:

$\begin{eqnarray*} D = \sqrt[]{\frac{U-2b}{2} + b^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Nullstelle der ersten Ableitung suche, dann müsste ich doch das Ergebnis haben oder?

18.10.2011, 20:37

original

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RE: Kürzeste Diagonale
Also so:

$\begin{eqnarray*} D = \sqrt[]{\frac{U-2b}{2} + b^2} \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

aber da hast du noch ein Quadrat vergessen??

und dazu:
Wenn ich jetzt die Nullstelle der ersten Ableitung suche, dann müsste ich doch das Ergebnis haben oder?

im Prinzip ja ..
- und du kannst dir dann "das Leben etwas einfacher machen", wenn du eine Eigenschaft der
Wurzelfunktion verwendest...

-

18.10.2011, 20:39

Ascareth

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RE: Kürzeste Diagonale

Zitat:

Original von original
Also so:

$\begin{eqnarray*} D = \sqrt[]{\frac{U-2b}{2} + b^2} \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

aber da hast du noch ein Quadrat vergessen??

-

Oh ja klar. Natürlich.

So:
$\begin{eqnarray*} D = \sqrt[]{\Biggl(\frac{U-2b}{2}\Biggr)^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

So wars gemeint

18.10.2011, 20:40

Ascareth

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Der Weg interessiert mich

18.10.2011, 20:44

original

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Zitat:

Original von Ascareth
Der Weg interessiert mich

siehe oben...

-

18.10.2011, 20:47

Ascareth

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Ah ok. stand da eben noch nicht.

hat das etwas damit zu tun, dass der radikant nicht kleiner 0 werden darf?

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18.10.2011, 20:59

original

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eher hier nicht..
sondern:
also für alle x>=0 :.... welche Eigenschaft hat f(x)= sqrt(x) ?
Beispiel: wenn x2>x1 dann => f(x2) verwirrt

verwirrt

f(x1)

usw..

18.10.2011, 21:02

Ascareth

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wenn x2 > x1, dann ist f(x2) natürlich auch größer als f(x1)

verstehe nur nicht was du mir damit sagen willst verwirrt

verwirrt

18.10.2011, 21:11

original

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smile

..will sagen:
du suchst doch von der Wurzel zB den kleinsten Wert (das Minimum?) .. oder?

welche Bedingung muss dann vermutlich der Ausdruck unter der Wurzel auch erfüllen verwirrt

verwirrt

-

18.10.2011, 21:21

Ascareth

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er wird wohl der kleinsmögliche wert sein müssen, also der wert, für den der ausdruck unter der wurzel 0 wird.

18.10.2011, 21:32

original

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Nein
schau dir doch den Ausdruck unter der Wurzel an: kann der denn bei diesem Beispiel 0 werden?

Richtig geht das eher so: du suchst das Minimum des Radikanden - oder?

und wie versuchst du normalerweise Extrema zu ermitteln ?

also...

18.10.2011, 21:59

Ascareth

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Extrema: indem ich die Nullstellen der Ableitung bestimme

Aber ich denke noch mal darüber nach. Vielleicht raff ichs ja noch

18.10.2011, 22:00

sulo

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Leite doch mal die Funktion ab. Das ist doch besser, als ewig um den heißen Brei herumzureden.

smile

smile

edit: Schade, dass du jetzt off gegangen bist.
Noch ein Tipp: Vereinfache erst mal alles unter der Wurzel. Das erleichtert das Ableiten ungemein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2011, 11:03

Ascareth

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Die abzuleitende Funktion sieht bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} d_{(b)}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt[]{U^2-4bU+8b^2} \end{eqnarray*}$

Als Ableitung hätte ich:

$\begin{eqnarray*} d'_{(b)}=\frac{-4U+16b}{4 \cdot \sqrt[]{U^2-4bU+8b^2}} \end{eqnarray*}$

Ich forme da jetzt nicht weiter um. Zum einen weil es so vielleicht etwas nachvollziehbarer ist, und zum anderen weil ich Termumformung noch nicht so gut kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ich die Nullstelle (in dem Fall nur eine einzige) bestimme erhalte ich für U=10 den Wert 2.5 .

Die Aussage hieraus ist also, dass die kürzeste Diagonale für einen beispielhaft gegebenen Umfang von 10 (...was auch immer m/km/µm), 2.5 beträgt.

PS: Sry, war gestern schon schlafen gegangen.

19.10.2011, 11:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ascareth
Wenn ich die Nullstelle (in dem Fall nur eine einzige) bestimme erhalte ich für U=10 den Wert 2.5 .

OK. Und jetzt das ganze, ohne daß du für U einen bestimmten Wert einsetzt.

19.10.2011, 11:55

Ascareth

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Da verstehe ich nicht wie das gemeint ist.

Der Vorteil an der Funktionsdarstellung ist doch gerade, dass ich jetzt für U jeden u-beliebigen Wert einsetzen kann. Das gilt doch auch für die Ableitung. Ich habe ja für U jetzt nur einmal beispielhaft 10 gewählt um es etwas anschaulicher zu machen.

Es ist natürlich so, dass ich für jeden Wert U eine konkrete Diagonale erhalte und eben auch die kleinsmögliche Diagonale für diesen Umfang über die Ableitung.

Wie meinst du das?

19.10.2011, 12:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ascareth
Da verstehe ich nicht wie das gemeint ist.

Du sollst eben für b einen Ausdruck angeben, ohne daß du für U eine Zahl einsetzt.

19.10.2011, 12:20

Ascareth

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Also umformen. Aber was jetzt, die Funktionsgleichung oder die Ableitung?

19.10.2011, 13:01

klarsoweit

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Die Gleichung, womit du die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmst.

19.10.2011, 13:29

sulo

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Zitat:

Original von Ascareth
Als Ableitung hätte ich:

$\begin{eqnarray*} d'_{(b)}=\frac{-4U+16b}{4 \cdot \sqrt[]{U^2-4bU+8b^2}} \end{eqnarray*}$

Ich forme da jetzt nicht weiter um..

Das brauchst du auch nicht. Setze die Ableitung 0 und multipliziere zunächst mit dem Nenner.

Was hast du dann stehen? smile

smile

19.10.2011, 13:34

Ascareth

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Ach so.

Also da mach ich das so:

$\begin{eqnarray*} -4U + 16b = 0 \land 4 \sqrt[]{U^2 - 4bU + 8b^2} \neq 0 \Rightarrow b_{01} \end{eqnarray*}$

Also gleich 0 setzen und nach b auflösen:

$\begin{eqnarray*} b=\frac{4U}{16}=\frac{U}{4} \end{eqnarray*}$

19.10.2011, 13:37

sulo

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Ja, genau. Freude

Freude

Die Lösung lautet, wie du richtig schreibst: b = U/4 smile

smile

19.10.2011, 13:41

Ascareth

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Ok, aber welche Eigenschaft der Wurzelfunktion wäre das jetzt gewesen?

19.10.2011, 13:46

sulo

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Folgende: Wenn du beispielsweise die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{3x} \end{eqnarray*}$ ableitest, hast du im Zähler die innere Ableitung stehen:

$\begin{eqnarray*} f' ( \sqrt{3x} ) = \frac{1}{2}\cdot (3x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2\cdot \sqrt{3x} } \end{eqnarray*}$

Wenn du die Extremstelle suchst, kannst du also einfach die innere Ableitung des Terms unter der Wurzel verwenden, wenn du abkürzen oder etwas kontrollieren willst.

Ich finde es aber besser, vernünftig abzuleiten und dann (nach dem Nullsetzen) mit dem Nenner zu multiplizieren. Genau so solte es nämlich auch in einer Klassenarbeit gemacht werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

19.10.2011, 13:56

René Gruber

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Alternativlösung:

Genau genommen kann man sich sogar auch das Ableiten sparen - wie generell bei Extremwertuntersuchungen von quadratischen Funktionen: Einfach eine quadratische Ergänzung bzgl. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vornehmen, schon erkennt man das Minimum:

$\begin{eqnarray*} D^2 = \left( \frac{U-2b}{2} \right)^2+b^2 = \frac{U^2}{4}-Ub+2b^2 = 2\left(b-\frac{U}{4}\right)^2+\frac{U^2}{8} \geq \frac{U^2}{8} \end{eqnarray*}$

mit Gleichheit dann und nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} b=\frac{U}{4} \end{eqnarray*}$ , was dem Quadrat entspricht.

Aber sowas wird an der Schule wohl nicht gelehrt, um die Schüler nicht zu verwirren - dabei wäre eine solche Lösung schon ein, zwei Klassen vor der Differentialrechnung vermittelbar, wenn auch nur auf eine sehr kleine (aber wichtige!) Klasse von Extremwertaufgaben einsetzbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2011, 14:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ascareth
Ok, aber welche Eigenschaft der Wurzelfunktion wäre das jetzt gewesen?

Man kann es auch so ausdrücken:
Ist das Quadrat einer positiven Funktion an einer Stelle x_0 maximal / minimal, so ist die Funktion selbst an der gleichen Stelle maximal / minimal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2011, 14:05

sulo

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@René
Doch, die Lösung von Extremwertaufgaben mittels quadratischer Ergänzung wird in der Mittelstufe manchmal recht knapp an ein oder zwei einfachen Aufgaben geübt.

In der Oberstufe wird darauf meist kein Bezug mehr genommen und die Schüler haben die kurze Exkursion seinerzeit dann wohl auch in der Mehrzahl vergessen.

Ich selber finde das Ableiten meist einfacher als die quadratische Ergänzung zu verwenden, zumal, wie du auch sagst, die q.E. nur bei einem Teil der Extremwertaufgaben überhaupt möglich ist.

smile

smile

19.10.2011, 16:26

René Gruber

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Zitat:

Original von sulo
Ich selber finde das Ableiten meist einfacher als die quadratische Ergänzung zu verwenden

... wenn man nicht sauber die Art des Extremums (Minimum/Maximum) zeigen muss. Ansonsten ist der "Ableitungsweg" ganz klar aufwändiger.

Nachtrag: Ein weiteres Beispiel dafür, wie sehr diese Extremalaufgaben von quadratischen Funktionen die Schulaufgaben zu diesem Thema dominieren, ist dieser Thread: Sämtliche drei Teilaufgaben lassen sich durch solch eine Abtrennung vollständiger Quadrate lösen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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