Urbildmenge bei Injektivität

18.10.2011, 23:55

TobseLemma

Urbildmenge bei Injektivität

Guten Abend,

bei allen Skizzen zur Injektivität werden immer alle Elemte der Urbildmenge der Zielmenge eindeutig zugeordnet.
Muss das aber sein? Müssen immer alle Elemente der Urbildmenge abgebildet werden?
Die Definition besagt ja, dass allen Elementen y aus Y höchstens ein x aus X zugeordnet werden kann, aber nicht das alle x Elementen aus Y zugeordnet werden müssen. Unterschiedliche x Werte werden auf unterschiedliche y Werte abgebildet, klar.

Aber warum ist dann die Quadratwurzelfkt. dann nicht injektiv??

Ich bin hier total am verzweifeln und wäre so dankbar, wenn jemand mir das schnell erklären könnte.. unglücklich

19.10.2011, 00:22

Pascal95

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RE: Urbildmenge bei Injektivität
Leider ist mir nicht ganz klar, was du meinst.

Falls du fragst, warum ein x-Wert immer ein y-Wert hat, dann schau in der Definition der Funktion nochmal nach. Hier gilt ja auch, dass der y-Wert eindeutig bestimmt ist.

Dass die Quadratwurzelfunktion nicht injektiv ist, lässt sich leicht an einem Gegenbeispiel zeigen. Wie du ja schon korrekt schreibst:

Zitat:

Original von TobseLemma
Die Definition besagt ja, dass allen Elementen y aus Y höchstens ein x aus X zugeordnet werden kann

19.10.2011, 00:24

Mulder

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RE: Urbildmenge bei Injektivität

Zitat:

Original von Pascal95
Dass die Quadratwurzelfunktion nicht injektiv ist, lässt sich leicht an einem Gegenbeispiel zeigen.

Ich würde dazu mal kurz anmerken, dass die Frage nach Injektivität (und auch Surjektivität) nur sinnvoll zu bearbeiten ist, wenn Definitions- und Wertebereich angegeben sind.

Edit: Beispiel entfernt.

19.10.2011, 00:26

Pascal95

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Stimmt, hier könnte man sich ja auf ein gewisses Intervall beschränken, in dem die Funktion dann doch injektiv wäre Augenzwinkern

@Mulder:
Vielleicht verstehst du den Eingangspost besser, und was hier gefragt ist (?)

19.10.2011, 00:29

LoBi

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Muss man das nicht sowieso? Da man sonst noch nichtmal eine Abbildung hat?

Gruß

19.10.2011, 00:30

Pascal95

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(Missverständnis meinerseits)

19.10.2011, 00:46

Mulder

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Zitat:

Original von LoBi
Muss man das nicht sowieso? Da man sonst noch nichtmal eine Abbildung hat?

Der Vollständigkeit halber: Eigentlich ja!

Zitat:

Original von Pascal95
Vielleicht verstehst du den Eingangspost besser, und was hier gefragt ist (?)

Also wie gesagt: Es ist Zeitverschwendung, eine Abbildung auf Injektivität zu untersuchen, wenn der Fragesteller Bild und Urbild nicht angibt. Bei der Quadratwurzelfunktion nimmt man auf den ersten Blick natürlich an, dass sie injektiv ist, aber Ratespielchen sind nicht unbedingt mein Hobby.

Zitat:

Müssen immer alle Elemente der Urbildmenge abgebildet werden?

Ja, nach Definition!

19.10.2011, 00:51

Dopap

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um mal andere Begriffe zu verwenden:

Eine Funktion (*) ist linkstotal und rechtseindeutig.
Ist Sie zusätzlich noch rechtstotal, dann ist Sie injektiv.

* Eine Funktion hat per se einen Definitionsbereich und einen Zielbereich.

19.10.2011, 00:52

Pascal95

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Und wenn sie linkseindeutig ist, nennt man sie surjektiv.

19.10.2011, 01:03

LoBi

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Ich hatte mir die Wurzelfunktion in den reelen Zahlen vorgestellt, daher meine Zwischenfrage.

Dann dachte ich mir $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht schonmal nicht.
Dann $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^+ \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eben nicht weil es keine Abbildung ist. Bleibt noch $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^- \end{eqnarray*}$ . Die wären aber bei mir injektiv!?

Gruß

19.10.2011, 01:09

Mulder

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Zitat:

Original von LoBi
Dann $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^+ \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eben nicht weil es keine Abbildung ist.

Begründung? verwirrt

Zitat:

Original von LoBi
Bleibt noch $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^- \end{eqnarray*}$ . Die wären aber bei mir injektiv!?

Ersteres wäre in der Tat injektiv, sogar bijektiv (wenn wir immer noch von der Wurzel im Reellen sprechen), zweiteres wäre unsinnig. Wieder: Definition einer Abbildung verinnerlichen!

19.10.2011, 01:30

LoBi

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Puh ganz schlimmer Denkfehler. Ich hatte die ganze Zeit $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt x^2=f(x) \end{eqnarray*}$ im Kopf.

Gruß

19.10.2011, 02:01

Dopap

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noch ein kleiner unwichtiger Hinweis:

die " Hochsymbole" an $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind seit geraumer Zeit und nach DIN nach unten gerutscht, das Zeichen für "ohne Null" ist das hochgestellte (*)

z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{-}^{*} \end{eqnarray*}$ = alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kleiner Null

19.10.2011, 15:15

TobseLemma

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Es tut mir Leid, dass ich meine Frage in der Verwirrung wohl ein bisschen wirr gestellt hatte. Aber als ich mir nun eure Beiträge durchgelesen habe, habe ich es verstanden. Ich dachte nicht daran, dass alle x abgebildet werden müssen, dass ich per Definition überhaupt eine Abbildung habe..
Vielen Dank!!

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