Induktion und Dreiecksatz

19.10.2011, 12:23	MatheNoob1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion und Dreiecksatz Meine Frage: Aufgabe: Zeige, dass gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \| \prod\limits_{k=1}^n (1+x_k)-1 \| \leq \prod\limits_{k=1}^n (1 + \| x_k \|) -1 <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ansatz mit vollständiger Induktion für n: 1) Induktionsbasis: n=1 $\begin{eqnarray} <br /> \| (1+x_1)-1 \| \leq (1 + \| x_1 \|) -1 <br /> <br /> \|x_1\| \leq \|x_1\|<br /> \end{eqnarray}$ 2) Induktionsvoraussetzung: n $\begin{eqnarray} <br /> \| \prod\limits_{k=1}^n (1+x_k)-1 \| \leq \prod\limits_{k=1}^n (1 + \| x_k \|) -1 <br /> \end{eqnarray}$ 3) Induktionsbehauptung: n+1 $\begin{eqnarray} <br /> \| \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1+x_k)-1 \| \leq \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1 + \| x_k \|) -1 <br /> \end{eqnarray}$ 4) Induktionsschritt: n->n+1 $\begin{eqnarray} <br /> \| \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1+x_k)-1 \| \leq \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1 + \| x_k \|) -1 <br /> <br /> \| \prod\limits_{k=1}^{n} (1+x_k)(1+x_{n+1})-1 \| \leq \prod\limits_{k=1}^{n} (1 + \| x_k \|)(1+\|x_{n+1}\|) -1 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ ...und genau da bin ich am Ende mit meine Ideen. Könnte mir jemand weiter helfen? Ich denke, es könnte irgendwo der Dreiecksatz ( $\begin{eqnarray} \|a+b\| \leq \|a\| + \|b\| \end{eqnarray}$ )drinnen stecken, aber ich sehe warscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht... DANKE schon mal im Voraus!!!
19.10.2011, 12:55	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion und Dreiecksatz Schreibe: $\begin{eqnarray} \| \prod\limits_{k=1}^{n} (1+x_k)(1+x_{n+1}) - 1 \| = \| \prod\limits_{k=1}^{n} (1+x_k) + x_{n+1} \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} (1+x_k) - 1\| \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} a = \prod\limits_{k=1}^{n} (1+x_k) - 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = x_{n+1} \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} (1+x_k) \end{eqnarray}$ und wende die Dreiecksungleichung an.
20.10.2011, 13:13	MatheNoob1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion und Dreiecksatz Danke!!! War der notwendige Denkanstoß... so lichtet sich der Wald...

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