Nilpotente Matrix im Homogenen Differentialgleichungssystem

03.01.2007, 13:47	Toastnose	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Matrix im Homogenen Differentialgleichungssystem Hallo ihr lieben Ich habe ein kleines großes Prblem, kann mir mal jemand helfen? Es sei A eine Nilpotente reelle (n x n)-Matrix, dh, es gilt A^c = 0 für ein c Element der natürlichen Zahlen. Zeigen Sie: Jede Funktion y_i einer Lösung $\begin{eqnarray} y=(y_1 , ..., y_n)^T \end{eqnarray}$ des Differentialgleichungssystems y'= Ay ist ein Polynom vom Grad <= c-1 Dankeschön
03.01.2007, 15:42	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst Du die Normalform von Nilpotenten Matrizen unter Ähnlichkeit? Daraus ergibt sich dann die Lösung sofort, da Ähnlichkeitstransformation die Lösungsmenge nicht ändert (nur verschiebt). Du kannst auch direkt die Lösungsformel ansetzen und ausrechnen. Ich habs mal in die lineare Algebra verschoben, da es ja eine lineare DGL ist, ist aber sicherlich alles relativ zum Standpunkt.
04.01.2007, 06:59	jol2040	Auf diesen Beitrag antworten »
Uns hat es geholfen, dazu $\begin{eqnarray} y'=Ay \end{eqnarray}$ nach x zu differenzieren und die Ausgangsgleichung einzusetzen, man erhält: $\begin{eqnarray} y''=Ay'=AAy=A^{2}y \end{eqnarray}$ (da A nicht von x abhängt) und das kann man dann fortsetzen bis $\begin{eqnarray} y^{(l)}=A^{l}y=0 \end{eqnarray}$ und dann komponentenweise hochintegrieren...

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