Definition Upper Set

03.01.2007, 13:09

lettuce

Definition Upper Set

Hallo,

ich verzweifle langsam daran, eine gute Definition von upper set (bzw. up-set, increasing set oder order filter) zu finden. Jeder(!) Autor definiert das anders. Ich bitte euch, euch mal meine Definition anzuschauen. Ich wollte das beste aus allen Definitionen reinpacken und sie möglichst formal und einleuchtend gestalten. Meine Frage ist, ob die Definition formal und sachlich richtig ist.

Definition:
Es sei $\begin{eqnarray*} \left\langle A,\circ\right\rangle\ \end{eqnarray*}$ eine Quasiordnung und $\begin{eqnarray*} Y\subseteq A \end{eqnarray*}$ . Ein upper set $\begin{eqnarray*} {\uparrow}Y \end{eqnarray*}$ ist so definiert:
$\begin{eqnarray*} ({\uparrow}Y \mathrel{\mathop:}= Y) \leftrightarrow Y \supseteq\left\{x|(\forall x\forall y)((y\in Y\wedge x\in A\wedge y\circ x)\rightarrow x\in Y)\right\} \end{eqnarray*}$

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn euch was dazu einfällt. Das Thema ist anscheinend so exotisch, dass mir bis jetzt noch nicht mal ein deutscher Begriff dafür begegnet ist.

Gruß,
lettuce

04.01.2007, 00:41

Abakus

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RE: Definition Upper Set
Der deutsche Begriff ist "oberer Abschnitt", die Definition ist:

$\begin{eqnarray*} {\uparrow}Y \mathrel{\mathop:}= \bigcup\{[y) : y \in Y\} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} [y) := \{x : y \circ x \} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

04.01.2007, 11:02

lettuce

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Hallo Abakus,

Danke für die Definition. Ich verstehe nur nicht, wozu das $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ gut ist.

04.01.2007, 17:25

Abakus

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Zitat:

Original von lettuce
Danke für die Definition. Ich verstehe nur nicht, wozu das $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ gut ist.

Was für Beispiele kennst du für Quasiordnungen ? Nenne mal ein paar Beispiele und schaue dir da die oberen Abschnitte an.

Ein oberer Abschnitt ist jedenfalls nicht notwendig "endlich erzeugt":

ZB:

$\begin{eqnarray*} X_1 = \mathbb Z,~ Y_1 = \{2n : n \in X_1 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X_2 = \mathbb R^2,~ Y_2 = \{(x, y) : y = \frac{1}{x}, x > 0 \} \end{eqnarray*}$

Im ersten Fall betrachte die normale Ordnung, im zweiten die komponentenweise Ordnung. Was sind jetzt die oberen Abschnitte ?

Grüße Abakus smile

EDIT: Latex

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