Addition und skalare Multiplikation über R

19.10.2011, 15:24

Mathenoobika

Addition und skalare Multiplikation über R

Hallo zusammen,

ich habe mal wieder eine Frage:

Vor mir liegt eine Aufgabe bei der ich einfach nicht genau weiss, wie ich da dran gehen soll.

Hier einmal die Aufgabenstellung:

Definieren Sie Addition und skalare Multiplikation so, dass die folgende Menge V zu einem Vektorraum über R wird.

V={f|f ist reelwertige Funktion auf [a,b]}

19.10.2011, 15:49

Math1986

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RE: Addition und skalare Multiplikation über R
Wie lauen denn die Vektorraumaxiome?
Du musst einfach V mit Addition und skalarer Multiplikation derart erweitern, dass diese erfüllt sind.

19.10.2011, 16:34

Mathenoobika

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Das heisst ich muss die Addition und die Multiplikation über R, anstatt über dem Intervall [a,b] erklären?

so das a+b -> R
und R*a bzw R*b -> R führt

Also einfach eine Definitionsfrage?

Ist das dann nicht simple

V={f|f ist reelwertige Funktion in R}?

19.10.2011, 16:54

Math1986

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Zitat:

Original von Mathenoobika
Das heisst ich muss die Addition und die Multiplikation über R, anstatt über dem Intervall [a,b] erklären?

Nein, du musst das erklären auf
$\begin{eqnarray*} V=\left\{f\mid f \text{ ist reelwertige Funktion auf }[a,b]\right\} \end{eqnarray*}$
Also, deine Vektoren sind aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , deine Skalare sind aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Nun musst du hierfür eine Additionsabbildung und eine skalare Multiplikationsabbildung definieren, die die Vektorraumaxiome erfüllt.
Also
$\begin{eqnarray*} +\colon V\times V\to V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cdot\colon \mathbb R\times V\to V \end{eqnarray*}$

PS: Ich stelle meine Frage nochmals...Wie lauten denn die Vektorraumaxiome?

19.10.2011, 17:28

Mathenoobika

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Der Begriff Axiom wäre mir im Bezug auf Vektorräume neu, aber ein Vektorraum muss abgeschlossen bezüglich der Addition, der Multiplikation(Kommutativ, neutrales Element, Distributiv, Assoziativ) sein und die 0 enthalten, wenn du das meinst?

19.10.2011, 17:35

Math1986

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Ja, das meine ich.
Nun musst du nur noch eine geeignete Addition und Multiplikation wie oben definieren.

19.10.2011, 17:39

Mathenoobika

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Aber was soll ich mit dem Intervall [a,b] dabei anfangen Ich hänge hier wieder

Muss V1 + V2 = V2 + V1 sein, oder dieses für a, b gelten.

Ich weiss momentan nicht wie ich das ausdrücken soll??

19.10.2011, 17:45

Math1986

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Nochmal: Es ist
$\begin{eqnarray*} V=\left\{f\mid f \text{ ist reelwertige Funktion auf }[a,b]\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\colon V\times V\to V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cdot\colon \mathbb R\times V\to V \end{eqnarray*}$

Du musst also die Addition so definieren, dass u.A. gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall v_1,v_2\in V\colon v_1+v_2=v_2+v_1 \end{eqnarray*}$
Die Funktion, die du selbst noch definieren musst, muss also alle diese Axiome erfüllen.

19.10.2011, 17:49

Mathenoobika

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Ok jetzt komme ich da langsam näher dran... Danke schön.

Ich muss mir die Funktion selbst definieren? Ok!

19.10.2011, 17:53

Math1986

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Zitat:

Original von Mathenoobika
Ich muss mir die Funktion selbst definieren? Ok!

Ja, genau das steht in der Aufgabenstellung.

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