Extremwertaufgabe (Problem mit Bedingungen)

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe (Problem mit Bedingungen)
Meine Frage:
Familie Ott will in einer Ecke ihres Gartens eine Dreiecksfläche so abtrennen, dass sich der Punkt P, in dem sich die Versorgungsanschlüsse befinden, auf der längsten Dreiecksseite befindet und möglichst wenig Rasen verloren geht.
Wählen Sie P(3/2) oder P(a/b) beliebig.

Meine Ideen:
Ich habe immer das Problem die Bedingungen aufzustellen.
Ich denke mal das es etwas mit der Tangente zu tun hat.
Da ich ja den einen Punkt schon habe und einen 2ten beliebigen Punkt wählen soll liegt dies nahe.
Dann brauch ich noch die Formel für das Rechteck denke ich mal um zu gucken wann der Verlust minimal ist.
Oder doch eher die Formel für das Dreieck?????

Also ich habe dann Versucht:



und dies muss ich irgendwie in Abhängigkeit zu



oder



fürs Dreieck.

Da ich aber keine Zusatz angaben über die Fläche habe weiß ich nicht wie ich da jetzt a oder b ausrechnen soll um es irgendwo einzusetzen oder ob überhaupt mein Ansatz richtig ist.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe (Problem mit Bedingungen)
Ich denke, das Dreieck soll einen möglichst kleinen Flächeninhalt haben.

Der Wasseranschluss befindet sich also auf P(3|2) und P soll auf der Hypotenuse liegen, alles andere ist beliebig?

smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe (Problem mit Bedingungen)
Ok also die Formel fürs Dreieck.
Wenn du sagst das alles andere Beliebig ist, heißt das ich kann irgendwelche Zahlen nehmen ohne das Ergebnis zu beeinflussen??
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe (Problem mit Bedingungen)
Nein, damit meine ich, dass nicht festgelegt ist, wie das Dreieck verläuft. Augenzwinkern

Ich würde nicht versuchen, eine Geradengleichung aufzustellen, vielmehr sollten bei dieser Aufgabe die Strahlensätze hilfreich sein.

smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

uhh Strahlensätze
die liegen schon etwas länger zurück aber kann ja nicht schaden die mal zu wiederholen.

Es ist so ich schreibe morgen eine Mathematikarbeit und wollte ein wenig Üben und da wir in der Schule nie eine Extremwertaufgabe mit Strahlensätzen gerechnet haben bezweifel ich das morgen welche dran kommen, aber kann ja nicht schaden es trotzdem zu machen.

Lauteten die nicht in der Art so:




a und b sind denke ich mal klar. Dies sind die Längen die das Dreieck einschließen aber wie steht es mit c und d?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir es lieber konkret:
[attach]21530[/attach]
Die gelbe Strecke verhält sich zur grünen wie die blaue zur lila Strecke. smile
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achja so konnte man das ja auch machen.



aber ich denke alleine auf die Lösung komm ich nicht.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das macht aber keinen Sinn. verwirrt

Wie lang ist die lila Strecke, wie lang die gelbe?

Beachte, dass ich die Punkte xo und yo eingezeichnet habe. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

die lila Strecke ist dann x-3 lang
und die gelbe y-2
verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Freude

Kannst du jetzt die Verhältnisse der Seiten aufschreiben?

smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »



Meinst du das so?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Eher so: smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder so Augenzwinkern

Aber wie kann ich nun oder ersetzen um weiter zu kommen.
Was ist nun meine Bedingung.

ahh wieso versteh ich diese Extremwertaufgaben bloß nicht, sonst kann ich das doch auch traurig



Oder ist das hier garnicht nötig, weil es ja gleich ist und ich kann einfach eins der beiden z.B. nach auflösen und dann einsetzen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe xo und yo eingeführt, weil wir sie für die Fläche des Dreiecks brauchen. Das ist die HB, du kannst sie ja mal aufstellen.

Dann wird die NB (unsere Verhältnisangabe) nach einer der Variablen umgestellt und in die HB eingesetzt.

smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also unsere HB ist dann:




Und da laut dem Strahlensatz die linke und rechte Seiten gleich sind kann ich ja einfach eine der beiden Seiten ersetzen so das ich auf beiden das gleiche hab und dann nach der gewünschten Variabele auflösen.
verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt jetzt etwas wirr. Augenzwinkern

Ich meine, dass du diese Gleichung:

z.B. nach yo umstellst und den gefundenen Ausdruck für yo in der HB (bei der noch A = fehlt) einsetzt.

smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine das so in der Art:



dann multipliziere ich mit 3 und addiere danach 2 und habe am Schluss da stehen




ich hoffe nur ich hab nicht irgendeinen miesen Rechenfehler begangen und Rechengesetze misachtet.


Nun könnte ich dies einsetzen und x0 bestimmen und somit auch y0


da war mein Gedanke ja richtig smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, alles richtig Freude , denn setze mal ein. smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab dann mal eingesetzt und hoffe es ist richtig.

Ich hab raus:

sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das ist keine Gleichung, die hätte ich jetzt schon gerne...

Außerdem hättest du, anstatt mit dem 1/2 zu multiplizieren, kürzen können. Das kannst (und solltest) du aber auch jetzt noch. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »



So und aus der Summe darf ich ja nicht kürzen. Oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst die geschweiften Klammern bei Latex nur, wenn du mehr als 1 Symbol hoch- oder tiefstellen willst. Augenzwinkern

Ansonsten kürze noch und dann kannst du ableiten. smile

edit: Du darfst in diesem Fall schon kürzen, da du im Nenner die 2 ausklammern kannst. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

wäre es nicht sogar von Vorteil wenn ich vorher mit dem Nenner multipliziere?


Ahh ok wenn das so ist kürz ich mal.
Muss die ausgeklammerte 2 den da stehen bleiben?





Edit: Würde ich nun weiter Ausrechnen bekäme ich als ergebnis x0=0 und das macht ja keinen Sinn.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die klammerst du aus und kürzst sie weg. Augenzwinkern

Deine Funktionsgleichung sieht jetzt gut aus. Freude

Du kannst jetzt ableiten. smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Abgeleitet einfach




Ich habe einfach ganz normal Abgeleitet aber was sagt mir jetzt das Ergebnis ich habe ja kein x oder so was ich damit in Relation stellen kann.

Oder ist es Falsch.
Ich habe vor erst versucht mit dem Nenner zu multiplizieren aber da wäre 0 raus gekommen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Nenner kannst du erst multiplizieren, wenn du den Extremwert suchst und f '(x)=0 gesetzt hast. Vorher macht es wenig Sinn, weil du dann den Nenner auf der anderen Seite der Gleichung stehen hast (weil da ja noch nicht 0 steht). Augenzwinkern

Leider ist deine Ableitung nicht richtig. verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe probiert und probiert aber ich komme auf kein schlüssiges Ergebnis.
Wie man Brüche ableitet habe ich leider noch nicht gelernt. Ich hatte überlegt es kann ganz normal abgeleitet werden.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du also keine Quotientenregel, oder Produktregel?

Dann wird es schwierig, die Aufgabe zu lösen... verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann wird es schwierig, die Aufgabe zu lösen...


Mit dem direkten Ansatz über eine Gerade entsteht diese Problematik nicht.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann übernehme gerne, Bjoern1982. Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ganz Ohr. Augenzwinkern

Den Ansatz mit der Geraden hatte ich ja schon probiert aber höchstwahrscheinlich nicht korrekt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist zwar evtl bisschen gemein, aber ich hab leider die Erfahrung gemacht, dass Gmasterflash mir sowieso nichts glaubt, insofern wollte ich das einfach nur für andere Mitleser erwähnen. Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

sag doch gleich das du mir nicht helfen willst



Was das Ableiten von Brüchen angeht bin ich nur in der Lage brüche der Form



Abzuleiten.
Also falls das hilft den mit diesem Wissen würde bei der Ableitung nicht alles Wegfallen ^^.
Das hab ich nämlich gerade nicht bedacht.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Quotienten- oder Produktregel kommst du hier leider nicht weiter.

Und ich komme im Moment auf keinen Ansatz für die Berechnung der Gerade. verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du mir trotzalledem zeigen wie die erste Ableitung aussehen würde.
Aus reiner Neugier jetzt da ich danach auch denke ich mal selbstständig auf die Lösung kommen würde, oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung des ersten Summanden ist

Die Ableitung des zweiten Summanden ist 1.

Ich erweitere den zweiten Summanden mit (x-3)² und fasse alles zu einem Bruch zusammen:



Jetzt ist es nicht schwer, die Lösung zu finden.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

ok wie genau du das jetzt gemacht hast versteh ich nicht ganz.
Welche regel war das Quotientenregel??
Ich guck mir das dann mal bei Wikipedia genauer an.

Also ich setze nun deine Ableitung =0 und multipliziere mit dem nenner und Klammer ein x aus dann bleibt als Lösung 6.


Dies setze ich wieder ein und erhalte meine Lösung für y.

x=6
y=4


dann ist der Flächeninhalt 12.
Ob es jetzt ein Minimum ist hab ich nicht kontrolliert aber ist auch erstmal unwichtig.

Sind meine Lösungen richtig.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösungen sind richtig. Freude

Wenn ihr aber solche Rechnungen noch nicht hattet, dann sollte das auch nicht drankommen.

Leider sehe ich immer noch nicht, wie ich den Weg über die Gerade gehen kann. Schade, dass Bjoern1982 nicht weiter geholfen hat.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

finde ich auch aber ich denke eine Extremwertaufgabe dieser Ordnung wird nicht kommen es sei den der Weg über die Gerade ist auch für nicht Studenten er sichtlicht.

Ich danke dir ein weiteres mal für deine tolle Hilfe und Gedult.

Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine typische Extremwertaufgabe für Schüler der Stufe 12/13 im Grundkurs.
Ich habe schon etliche Schüler mit dieser Aufgabe gehabt, insofern absolut kein Hochschulniveau.
OK ich kann natürlich nur für NRW reden. Wink

Im Übrigen schaut der stets unsichtbare riwe ja eh in so gut wie jeden Thread wo es irgendwie um Geometrie geht, insofern einfach abwarten bis das nächste Bilderl eintrudelt Augenzwinkern
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