Wo ist der Fehler? 1 = -1 ...

19.10.2011, 21:50

Analysis?HILFE!

Wo ist der Fehler? 1 = -1 ...

Meine Frage:
Mein Aufgabe lautet: Finde den Fehler.

$\begin{eqnarray*} -1=i^2=\sqrt{-1}*\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)*(-1)}=\sqrt{1}=1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab bereits diesen Thread gefunden: LINK ...
Hab mir gedacht, dass der Fehler beim dritten Gleichheitszeichen ist, da die Rechengesetze der reellen Zahlen nicht zwingend bei den komplexen Zahlen gelten. Jetzt weiß ich aber nicht ob das meinem Prof genügt, wenn ich das so da hin schreibe. Wollte daher mal hier nachfragen, ob ich's so schreiben kann.
Danke schonmal smile

19.10.2011, 23:29

Dopap

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der Fehler liegt beim zweiten Gleichheitszeichen.

w.g. $\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

21.10.2011, 10:33

Analysis?HILFE!

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Hmm das steht ja auch in dem Thread den ich schon verlinkt hab. In Der Vorlesung hab ich es aber so verstanden, dass i eben doch als Wurzel aus -1 definiert wurde ...
Muss da dann wohl nochmal nachfragen^^
Danke für die Antwort

21.10.2011, 12:02

juffo-wup

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Der Fehler ist im letzten Gleichheitszeichen: Es wurde die falsche Wurzel aus 1 genommen. (Es gibt ja immer 2)

21.10.2011, 12:08

Huy

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Zitat:

Original von juffo-wup
Der Fehler ist im letzten Gleichheitszeichen: Es wurde die falsche Wurzel aus 1 genommen. (Es gibt ja immer 2)

Also ist -2 die Wurzel aus 4?

MfG

21.10.2011, 12:19

klarsoweit

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In gewisser Weise ja, denn innerhalb der komplexen Zahlen ist die Wurzel nicht eindeutig bestimmt. Insofern sind Gleichungen wie im 1. Beitrag mit größter Vorsicht zu genießen und führen auch regeömäßig zu Widersprüchen.

21.10.2011, 13:47

Huy

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Zitat:

In gewisser Weise ja

Also ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray*}$ und ebenso $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} = -2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2 = -2 \end{eqnarray*}$ ?
Und ich dachte immer, der Fehler liege darin, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ nur für nichtnegative Zahlen gilt, wie es mir Studenten aus höheren Semestern und wikipedia immer erklärt haben. unglücklich

MfG

21.10.2011, 14:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Huy
Also ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray*}$ und ebenso $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} = -2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2 = -2 \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Nochmal: es kommt darauf an, in welchem Zahlenraum man sich bewegt. Innerhalb der reellen Zahlen ist die Wurzel eindeutig definiert. Innerhalb der komplexen Zahlen ist die Wurzel mehrdeutig. Deswegen darf man a) nicht solche Gleichungsketten machen und b) kann man daraus nicht schließen, daß die verschiedenen Werte der Wurzel identisch sind.

Zitat:

Original von Huy
Und ich dachte immer, der Fehler liege darin, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ nur für nichtnegative Zahlen gilt, wie es mir Studenten aus höheren Semestern und wikipedia immer erklärt haben. unglücklich

Das kommt noch erschwerend hinzu.

21.10.2011, 21:24

juffo-wup

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Zitat:

Es gilt für beliebige Elemente eines beliebigen Körpers.. wenn man wie klarsoweit schon angedeutet hat die Wurzelzeichen als "eine Wurzel aus" liest, anstatt immer eine bestimmte Wurzel zu meinen (wie bei positiven reellen Zahlen normalerweise üblich, aber sonst selten). Wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ eine Wurzel aus x ist und $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ eine Wurzel aus y, dann ist das Produkt immer eine Wurzel aus xy. Auch lässt sich jede Wurzel aus xy als Produkt geeigneter Wurzeln aus x bzw. y schreiben (z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{1}=1=(-i)\cdot i = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ ). Man darf aber nicht beliebige Wurzeln von x, y und xy einsetzen und erwarten, dass die Gleichung immer gilt, wie das Beispiel zeigt.

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