Beweis von Formeln für Binomialkoeffizieten

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19.10.2011, 21:59	Quark11	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Formeln für Binomialkoeffizieten Hallo! Ich hänge gerade über einer Aufgabe bei der ich folgendes beweisen soll: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -n \\ k \end{pmatrix} = \left(-1\right)^{k}\begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe schon eigentlich zahlreiche Varianten durchprobiert. So wollte ich immer von der linken zur rechten Seite durch Umstellen etc. kommen, aber es hat beim Einsetzen in die Standardformel und auch beim "Übersetzen" in die Definition nicht wirklich klcik gemacht. Könnte mir jemand vielleicht einen Denkanstoß geben, damit ich weiß wie ich weiter kommen kann. Danke
19.10.2011, 22:06	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Formeln für Binomialkoeffizieten Induktion nach k könnte klappen.
19.10.2011, 22:07	Quark11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Formeln für Binomialkoeffizieten Also das ich beweise $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -n \\ k+1 \end{pmatrix} = \left(-1\right)^{k+1}\begin{pmatrix} n+k+1-1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Ich versteh einfach nicht so recht wie ich auf die $\begin{eqnarray} \left(-1\right)^{k} \end{eqnarray}$ komme?! Wo ist da der Ansatz dafür?
19.10.2011, 22:11	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Formeln für Binomialkoeffizieten Allerdings haben wir das Problem, dass Fakultäten für negative Zahlen nicht definiert sind.
19.10.2011, 22:19	Quark11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Formeln für Binomialkoeffizieten Ja und wenn ich den Induktionsanfang mache komme ich für k=0 auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -n \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{\left(-n\right)! }{\left(n\right)! } \end{eqnarray}$ und in die Formel eingesetzt komme ich auf 1 was ja nicht stimmt. Heißt das ich sollte einfach sagen, dass es ein Widerspruch ist? Ansich kann ich ja sagen das es kein $\begin{eqnarray} n\in \mathbb R \end{eqnarray}$ für das $\begin{eqnarray} \frac{\left(-n\right)! }{\left(n\right)! } \end{eqnarray}$ definiert ist. Somit kann es sowas nicht geben?!
19.10.2011, 22:37	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Formeln für Binomialkoeffizieten Na, nicht so schnell aufgeben, man könnte die Gamma Funktion benutzen.....
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19.10.2011, 22:38	Quark11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Formeln für Binomialkoeffizieten Und die macht was? Sowas hatten wir noch nicht.. Von daher denk ich mal, sollen wir sowas auch nicht benutzen.
19.10.2011, 23:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind verallgemeinerte Binomialkoeffizienten: $\begin{eqnarray} {{\alpha} \choose k} = \frac{(\alpha)_k}{k!} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (\alpha)_k = \alpha \cdot (\alpha -1) \cdot (\alpha -2) \cdots (\alpha - k + 1) \end{eqnarray}$ Im Zähler steht also das Produkt aus $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Faktoren, das mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ beginnt, wo jeder weitere Faktor $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ kleiner als sein Vorgänger ist. Das kann man für jedes $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und jede ganze Zahl $\begin{eqnarray} k \geq 0 \end{eqnarray}$ machen. Im Fall $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ sind die leeren Produkte als $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ zu interpretieren. Induktion ist wohl nicht das Passende bei der zu beweisenden Formel. Denn eigentlich muß man dort nur im Zähler aus jedem Faktor $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ausklammern. So kommt das $\begin{eqnarray} (-1)^k \end{eqnarray}$ zustande. Und war $\begin{eqnarray} -n \end{eqnarray}$ zuvor der größte Faktor und $\begin{eqnarray} -n-k+1 \end{eqnarray}$ der kleinste, so ist jetzt $\begin{eqnarray} n+k-1 \end{eqnarray}$ der größte und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ der kleinste. Das ergibt sich alles unmittelbar aus der Definition und ist eigentlich völlig harmlos.
19.10.2011, 23:46	Quark11	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Aber mir wird bei genauerem Hinsehen noch nicht ganz klar warum ich $\begin{eqnarray} \binom{n+k-1}{k} = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(n+k-1\right) }{k !} \end{eqnarray}$ machen kann!? Bei uns wurde der Binomialkoeffizient nämlich wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \binom{x}{k} = \frac{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-\left(k-1\right)\right) }{k !} \end{eqnarray}$
20.10.2011, 06:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \longrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \longleftarrow \end{eqnarray}$

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